zones délimitées par un polygone

http://oeis.org/A006533

[édit : Aie, la gaffe, j'ai oublié une lettre en route, je la rajoute]

Kolotoko,

il s'agit du concept des psychologues, qui demandent quel nombre suit 16 dans 1,2,4,8,16 sans préciser qu'il s'agit d'une suite géométrique.
Au fait, quelle est la lettre après t dans n,x,s,e,q, x,t ?

Cordialement.

Pour une classe de secondaire, je préconiserais plutôt de poser ce problème pour $n$ points "en position générale" sur un cercle, c'est-à-dire tels que trois segments quelconques joignant ces points ne soient jamais concourants. Il y a trois problèmes de dénombrement pour cette figure : combien de points d'intersections des segments joignant deux points (diagonales du polygone) ? Combien de petits segments découpés par ces points d'intersection sur les segments joignant deux points ? Et celui qui est évoqué ici : combien de régions dans le disque ?

Le nombre de points d'intersection est bien sûr : $P_{n}=(_{4}^{n})$.

Si $R_n$ est le nombre de régions, on a : $R_2=2,R_3=4,R_4=8,R_5=16$, à quoi on peut ajouter : $R_1=1$. On est toujours tenté par la fausse conjecture évoquée par horner : $R_{n}=2^{n-1}$. Las ! on trouve : $R_{6}=31$. En fait : $R_{n}=(_{0}^{n})+(_{2}^{n})+(_{4}^{n})$, ce qui explique le phénomène. Si l'on a 6 points formant un hexagone régulier, alors trois diagonales concourent, on perd un petit triangle, et le nombre de régions n'est plus que 30.

Tout ceci est connu depuis longtemps et peut sans doute se poser en TS. Mais il n'en va pas de même si l'on suppose que nos $n$ points forment un polygone régulier, et là, on tombe sur un problème bien plus difficile, dont la solution est plutôt récente, et qu'on ne peut poser en TS, me semble-t-il. Je vous en reparlerai tantôt.

Bonne journée.

RC
18/09/2013

Pour un polygone régulier à $n$ sommets, on peut se poser les trois problèmes que j'ai évoqués dans mon précédent message, à commencer par le premier : combien d'intersections des diagonales ? Je veux dire des segments diagonaux. Ces nombres d'intersections constituent la suite A006561 de l'OEIS. http://oeis.org/A006561

La bibliographie offerte dans cette fiche montre que ce problème, bien que d'énoncé simplissime, n'a pas reçu de solution avant le XXème siècle
Il me semble que la première référence est un article de G. Bol en néerlandais dans Nieuw Archief voor Viskunde, Groningen, 1933, une dizaine de pages. Mais je ne pratique pas cette langue.

En 1956, dans le Nouveau livre écossais (New Scottish Book), H. Steinhaus demande de prouver que pour un nombre premier de sommets, il n'y a pas d'intersections multiples de diagonales. Ce n'est prouvé qu'en 1960 par H. T. Croft et M. Fowler.

Ensuite, article de Hermann Heineken, Regelmässige vielecke und ihre diagonalen, L'Enseignement mathématique, S. II. 8, 1962 (les polygones réguliers et leurs diagonales), où il est démontré que pour un nombre impair de sommets, il n'y a pas d'intersections multiples de diagonales. Je ne pratique pas non plus la langue de Goethe, mais un obligeant collègue germaniste m'a dépanné.

En 1976, Eugène Ehrhart a posé la question en tant que problème n° 49 dans le bulletin n° 302 de l'APMEP. C'était un professeur alsacien, auteur d'une multitude d'articles dans diverses revues, et créateur d'une méthode, des "polynômes arithmétiques", pour résoudre des problèmes de Combinatoire. Solution dans le n° 317 de février 1979, ou plutôt non-solution, encadrement.

Il y a d'autres références, mais il me semble que la première solution complète est dans : Bjorn Poonen, Michael Rubinstein, The number of intersections points made by the diagonals of a regular polygon, SIAM J. Discrete Math., No 1, pp. 135-156, february 1998, 20 pages !

En 2001, j'ai fait des recherches bibliographiques qui m'ont fait trouver les articles précédents, et j'ai correspondu à ce sujet avec Dominique Roux, alors inspecteur général, mais qui continuait néanmoins une activité mathématique féconde. Il n'avait comme référence que le bulletin de l'APMEP, mais aucun des autres articles que je viens de citer, que je lui ai communiqués par la suite. Avec Claude Morin, et la collabortation de Joseph Oesterlé, il a résolu complètement le problème et d'autres problèmes de classification de ces points, et aussi des points d'intersection extérieurs : Claude Morin et Dominique Roux, Classification des noeuds diagonaux dans les polygones réguliers, 2001.

En fait, ce n'est pas une question de Combinatoire, mais de Géométrie et/ou d'Algèbre.

Bonne journée.
RC
18/09/2013

La question initiale portait sur les intersections des diagonales d'un polygone régulier. C'est un problème qui a la particularité d'être à énoncé très simple, mais dont la solution est assez compliquée et n'a été trouvée que récemment.
Un certain intérêt tout de même, non ?
J'ai passé une matinée à retrouver les documents à ce sujet, et à rédiger une communication donnant des informations qui ne me semblaient pas dénuées d'intérêt. Mais apparemment, ça n'intéresse personne ; ça m'apprendra...
Bien l'bonjour.
RC

Bonsoir,

En 1985, le CEDIC a publié une compil' d'oeuvres d' Eugène Ehrhart :

"Articles de mathématiques pour enseignants et étudiants".

Cela doit se trouver facilement sur internet au format djvu.

Bonjour,

Marcus du Sautoy cause un peu de ce problème dans son livre agréable à lire : La symétrie ou mes maths au clair de lune (Points Sciences) , page 117 .

bien cordialement

kolotoko