Inégalité de Hölder

Bonjour

Dans un article, je trouve l’inégalité suivante : $\left[\displaystyle\int f^{\lambda}\left(\frac{\Delta \varphi}{n}\right)^{n(1-\lambda)}\right]^{\frac{1}{n(1-\lambda)}}
\le \left(\displaystyle\int f^\lambda \right)^{\frac{1-n(1-\lambda)}{n(1-\lambda)}}\left( \displaystyle\int f^\lambda \frac{\Delta \varphi}{n}\right)$

Je sais que c'est l’inégalité de Hölder $\displaystyle\int |uv| \le \left( \displaystyle\int |u|^p\right)^{1/p} \left( \displaystyle\int |v|^q\right)^{1/q}$, avec $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$. mais je n'arrive à trouver $u, v, p, q$

Réponses

  • Salut Kito,

    En mettant les deux membres à la puissance $n(1-\lambda)$ pour enlever la puissance sur l'intégrale de $|uv|$, tu vois apparaître $p$ et $q$. En mettant l'intérieur des intégrales du membre de droite aux puissances $1/p$ et $1/q$ qui vont bien, tu retrouves $|u|$ et $|v|$.
  • Avec tes notations, $p = \dfrac{1}{n(1-\lambda)}$, $q = \dfrac{1}{1-n(1-\lambda)}$, $u=\left( f^\lambda g \right)^{n(1-\lambda)}$ et $v = f^{\lambda \{1 - n(1-\lambda) \}}$.
  • Grillé par Egoroff ! M'en remettrai-je ?
  • Merci beaucoup a vous deux.
  • Hé hé B-)-
  • Ah ben si en plus tu me nargues...Je l'aurai, je jure que je l'aurai un jour ! 8-)
  • Bonne nuit,

    Pourrais-tu stp me donner un lien vers l'article en question?

    Cdt
  • enonce a écrit:
    Ah ben si en plus tu me nargues...
    Il faut dire que tu as pris le temps de soigner ton LaTeX...
  • Bonsoir,

    Si je peux me permettre de faire l'arbitre, enonce a bien répondu (i.e. j'ai compris) egoroff moins bien (i.e. je n'ai pas compris).

    Amicalement,
    zephir.
  • Disons plutot qu'enonce a donné la réponse sans indiquer comment il l'avait obtenue, alors qu'Egoroff fourni la démarche, ce qui me semble (au moins pédagogiquement) être une meilleure méthode.

    Et puis, Egoroff est un monument de ce forum !...
  • enonce a écrit:
    alors qu'Egoroff fourni la démarche
    Disons plutôt que c'est ce que j'ai essayé de faire, mais en me relisant je dois donner raison à Zephir, ce n'est pas complètement clair. Dans tous les cas deux réponses valent mieux qu'une !
    enonce a écrit:
    Egoroff est un monument de ce forum !...
    Merci, c'est gentil même si c'est exagéré. Tu l'es sans doute beaucoup plus que moi, mais qui sait vraiment qui tu es ? ;)
  • Egoroff a écrit:
    Tu l'es sans doute beaucoup plus que moi
    Certainement pas !
    Egoroff a écrit:
    mais qui sait vraiment qui tu es ?
    Vaut mieux pas savoir...aucun intérêt !
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