système de récurrence et produit

Bonjour, je me retrouve avec cet exercice (je vais le décrire du mieux possible ... )

*Soit n et q des entiers naturels non nuls, montrer par récurrence que :

(produit de k=1 à n) de (4qk-2q) = q^n((2n)!/n!)

Je suis partie dans de nombreuses directions, je ne vais pas vous mettre mes 5 pages de brouillon, ce serait inutile.
Je me suis dis que je pouvais travailler sur

((produit de k=1 à n) de (4qk-2q)) * n! = q^n * (2n)!
mais je bloque toujours.
J'ai l'initialisation de mon système de récurrence, j'ai commencé mon hérédité en supposant que (produit de k=1 à n) de (4qk-2q) = q^n((2n)!/n!)

Est ce que quelqu'un peut me dire comment je dois faire ? J'ai juste besoin d'une astuce pour me relancer et avec de la chance, me débloquer. Ca serait vraiment gentil ...

Réponses


  • N'y-aurait-il pas une erreur d'énoncé?

    Le n! me semble bizarre. k!?

    PS:
    Même avec k! cela semble faux.
  • Non, c'est bel et bien mon énoncé. =/
  • Tu supposes donc que pour un entier positif $n$, on a : $\underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}(4qk-2q)=q^{n}\frac{(2n)!}{n!}$. Multiplie cela par le facteur suivant de ton produit, qui est : $4q(n+1)-2q$, et tape dessus jusqu'à ce que tu trouves ce que tu veux : $q^{n+1}\frac{(2n+2)!}{(n+1)!}$. Tu peux aussi appliquer la "méthode du tunnel", et transformer cette dernière formule. L'avantage, c'est que tu connais le résultat.
    Maintenant, il n'est pas certain que la récurrence soit la meilleure méthode pour établir cette formule.
    Bon courage. Bonne journée.
    RC
    14/09/2013
  • Pourquoi je dois arriver à (2n+2)! au lieu de (2n=1)! ?
    Malheureusement c'est la méthode imposée. =/
    Mais le problème c'est que je bosse dessus sans trouver de pistes, vous ne pourriez pas m'aiguiller sur une méthode, me donner un conseil supplémentaire sur le départ de mon calcul ? =/
    Mais déjà je vous remercie de m'avoir répondu cela, vous me confirmer déjà une piste de travail. ^^
  • Bon, autre manière de voir les choses.
    Tu as $P_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}(4qk-2q)$ et $Q_{n}=q^{n}\frac{(2n)!}{n!}$ et tu veux prouver que : $P_{n}=Q_{n}$.
    Il est clair que : $P_{n+1}=(4q(n+1)-2q)P_{n}$.
    Regarde ce que vaut $\frac{Q_{n+1}}{Q_{n}}$.
    Bon courage.
    RC
    14/09/2013
  • Je n'ai pas répondu à ta question, qui est une bonne question "Pourquoi je dois arriver à (2n+2)! au lieu de (2n+1)! ?".
    Parce que tu dois remplacer partout $n$ par $n+1$, et $(2n)!$ se change donc en $(2(n+1))!$, soit $(2n+2)!$.
    C'est ça la récurrence, trois lignes de cours et mille exécutions diverses.
    C'est notre "effrayant génie" Blaise Pascal qui en a commencé l'application systématique, sur une idée du mathématicien sicilen Francesco Maurolyco.
    Bon courage.
    RC
    14/09/2013
  • Merci beaucoup pour vos deux réponses ! Je vais travailler sur cette nouvelle piste de travail !
    Et merci pour l'explication, j'ai fait l'idiote erreur d'écrire (2n+1)! en oubliant de factoriser (n+1), forcément ça n'était pas juste. Avec ces nouvelles indications je devrais trouver !
    Encore merci !! =D
  • bonjour

    ton produit $P_n$ s'écrit après mise en facteur de $2q$:

    $P_n = (2q)^n\Pi_1^n.(2k-1)=(2q)^n.1.3.5........(2n-1)$

    soit encore en multipliant haut et bas par $2.4.6.........2n$ :

    $P_n = (2q)^n\frac{1.2.3........(2n)}{2.4.6.......(2n)} = (2q)^n\frac{(2n)!}{2^n.n!}$

    et donc $P_n = q^n\frac{(2n)!}{n!}$

    cordialement
  • En faisant (Qn+1) / (Qn) je trouve

    q * (4n^4 + 8n^3 + 8n²+ 3n) / (4^4 + 14n^3 + 14n² + 4n)

    Ca semble bon ? =/

    Merci Jean Lismonde, mais je dois résoudre l'exercice avec un système de récurrence. =/
  • La valeur de $\frac{Q_{n+1}}{Q_{n}}$. est bien plus simple que cela.
    Déjà : $(2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)$. N'effectue pas si cela n'est pas nécesaire.
    Tu vas avoir une simplification par $n+1$.
    Continue, tu vas y arriver.
    RC
  • Monsieur Cordier, je n'ai pas vu ça en cours ... Je veux dire (2n+2) ! = (2n)! (2n+1)(2n+2) donc je ne sais pas si je peux l'utiliser. =/
  • Cela vient directement de la définition de la factorielle. Si $n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n$, alors : $(2n)!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (2n)$, et alors : $(2n+2)!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (2n)(2n+1)(2n+2)$, non ?
  • Oui !!!! Oui maintenant que vous me le montrez c'est évident !! Je cours voir ce que ça donne !
    Encore merci !!!
  • J'AI COMPRIS !!!
    J'AI TROUVE !!!!
    Merci beaucoup beaucoup beaucoup !! ^-^
    Vous m'avez beaucoup aidé, et comme j'ai compris je serais apte à le refaire en DS ! Me voila mieux préparée pour la suite de l'année !
    Merci merci merciiiii !!! =D
  • Etant donné que vous avez posté cet exercice sur tous les forums de maths francophones (et peut-être même non francophones), on peut sérieusement douter que ce soit vous qui ayez trouvé...
  • Oui je sais j'ai mis beaucoup de post, 4 pour être précise. Mais mes dix feuilles de brouillon pourraient surement certifier que j'ai cherché moi même. Et si le cœur vous en dis, trouvez un de ces 4 post qui m'ait donné la réponse exacte.
    C'est la première fois que j'utilise des forums pour trouver une solution en math, et je n'ai nullement l'intention que quelqu'un me donne la réponse.
    Si j'ai autant posté, c'est parce que je n'avais pas de réponse sur le premier, puis sur le second, puis sur le troisième et j'avais besoin d'une réponse rapide.
    Je vous répond honnêtement, à quoi ça me servirait de tricher ? Je suis en première année de prépa, si je recopie bêtement une réponse d'un forum, je vais être belle aux DS puis aux concours ! Mon but c'est de comprendre. Je ne comprenais pas comment faire, des gens m'ont expliquer, j'ai utiliser plusieurs méthodes, je les ai toutes essayées, et au bout d'un moment j'ai compris et trouvé.
    J'ai eu du mal, mais j'ai compris et si je tombe sur un exercice de ce type là à mon prochain DS je serais capable de le refaire. C'est le plus important pour moi.

    Voila, vous savez pourquoi désormais pourquoi Ispahan à posté 3 messages sur 3 forums différents, et pourquoi LeilaRego a posté le même message sur un 4ème.
    Encore merci aux personnes de ce forum qui m'ont aidées !

    PS : Vous risquez d'avoir plusieurs fois cette réponse si vous me faites la remarque sur chaque post. ^^'
    PPS : C'est avec M.Raymond Cordier (sur ce forum-ci) que j'ai le plus travaillé et c'est lui qui m'a expliqué deux choses très pertinentes et très utiles pour moi continuer ma démarche. Et il me semble, si je ne m'abuse, qu'à aucun moment il ne m'ait donné la réponse.

    Voila. =)
  • albanv écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,866466,866533#msg-866533

    D'ailleurs, si vous prenez un chouïa le temps de lire les post, vous verrez que j'ai eu plein de réponses différentes, auxquelles j'ai toute répondu en donnant les calculs où j'en étais et, oh tiens c'est bizarre ! , les réponses sont à chaque fois différentes car ce sont tous des calculs différents !
    Encore une preuve que je n'ai pris la réponse sur personne et que j'ai trouvé, moi, grâce à de l'aide, et non pas grâce à un don.
    Mais je peux comprendre que ça puisse paraître suspect, aussi je préfère vous expliquer d'une manière détaillée.
  • T'en fais pas, ispahan, reviens quand tu veux.
    RC
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.