isomorphisme ?

D'accord, voici une traduction en français :

Je définis la notion de classe galoisienne de fonctions L comme suit :

$A$ est une classe galoisienne de fonctions L si et seulement si les conditions suivantes sont simultanément vérifiées :

1) $A$ est un sous-ensemble de la classe de Selberg comprenant la fonction constante égale à $1$
2) dès que $F$ et $G$ sont dans $A$, il en est de même de $F.G$
3) tout élément de $A$ se factorise de façon unique en un produit d'éléments primitifs de $A$

Je note alors $M$ la classe galoisienne de fonctions L maximale (conjecturellement égale à la classe de Selberg tout entière) et définis son groupe d'automorphismes (pour la composition) $Aut(M)$ comme suit :
$\Phi$ est un automorphisme de $M$ si et seulement si les conditions suivantes sont simultanément vérifiées :

1) $\Phi$ est une bijection de $M$ dans elle-même
2) $\forall F\in M$, $deg(\Phi(F))=deg(F)$, où $deg(F)$ est le degré de $F$ en tant qu'élément de la classe de Selberg
3) $\forall (F,G)\in M^{2}$, $\Phi(F.G)=\Phi(F).\Phi(G)$
4) $\Phi$ envoie un élément primitif de $M$ vers un élément primitif de $M$

Etant donné un élément $F$ de $M$ de degré $d$, on peut écrire $F=\prod_{i=1}^{n}F_{i}^{e_i}$ où $\forall 1\leqslant i\leqslant n$ $F_{i}$ est un élément primitif de $M$ et $e_{i}$ un entier strictement positif. Considérons le groupe $G_{F}$ (pour la composition) des autommorphismes de $M$ préservant $F$.

Voici mes questions :
Q1) Existe-t-il une représentation complexe semi simple de dimension $d$ $(V,\rho)$ de $G_{F}$ telle que $V$ soit isomorphe à la somme directe $\bigoplus_{i=1}^{n}e_{i}V_{i}$ où $\forall 1\leqslant i\leqslant n$ $V_{i}$ est une représentation complexe irréductible de $G_{F}$ de degré $deg F_{i}$?
Q2) Etant donné que, au moins pour les groupes finis, les caractères irréductibles formetn une base orthonormale des fonctions centrales, est-il possible d'établir l'égalité $\langle\chi_{V_{i}},\chi_{V_{j}}\rangle=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{\log\log x}\sum_{p\leqslant x,p\in\mathbb{P}}\dfrac{a_{p}(F_{i}).\overline{a_{p}(F_{j})}}{p}$, où $\langle\chi_{V_{i}},\chi_{V_{j}}\rangle=\dfrac{1}{\vert G\vert}\sum_{g\in G}\overline{\chi_{V_{i}}(g)}\chi_{V_{j}}(g)$ et $a_{p}(H)$ est le $p$-ième coefficient de la série de Dirichlet $\sum_{n>0}\dfrac{a_{n}}{n^{s}}$ définissant $H(s)$ pour $\Re(s)>1$?
Q3) Supposons $F$ primitive. Tous les éléments de $G_{F}$ sont-ils conjugués ?

Merci d'avance.

EDIT 31 août 2013: je viens d'avoir une idée de ce que la représentation souhaitée pourrait être.
Comme $F=G$ si et seulement si $\Lambda_{F}=\Lambda_{G}$ où $\Lambda_{F}$ est la fonction L complète associée à $F$, à un élément $g$ de $G_{F}$ on peut associer un élément $\sigma_{g}$ de $\mathfrak{S}_{m}$ où $m$ est l'entier tel que le facteur gamma de $F$ est $\displaystyle{\gamma_{F}(s)=\vert w_{F}\vert Q_{F}^{s}\prod_{j=1}^{m}\Gamma(\omega_{j}^{F}s+\mu_{j}^{F})}$ (conjecturally $m=d$), avec $\sigma_{g}$ vérifiant les conditions suivantes :
C1) $\displaystyle{\sigma_{g}(\prod_{j=1}^{m}\Gamma(\omega_{j}^{F}s+\mu_{j}^{F}))}$ $=\displaystyle{\prod_{j=1}^{m}\sigma_{g}(\Gamma(\omega_{j}^{F}s+\mu_{j}^{F}))}$ $=\displaystyle{\prod_{j=1}^{m}\Gamma(\omega_{j}^{F}s+\mu_{j}^{F})}$

C2) $\sigma:G_{F}\to\mathfrak{S}_{m},\ \ g\mapsto \sigma_{g}$ est un homomorphisme de groupes.

On associe alors à $\sigma_{g}$ sa matrice de permutation $P_{\sigma_{g}}$, qui est un élément de $GL_{m}(\mathbb{C})$. Ainsi on peut s'attendre à ce que l'égalité $\rho(g)=P_{\sigma_{g}}$ soit vraie.
J'imagine que la prochaine étape consiste à trouver un moyen de montrer que $m=d$...

EDIT 10 septembre 2013: il se peut que l'homomorphisme de groupe $\sigma$ soit un isomorphisme. Le prouver serait-il utile pour montrer que $m=d$?

@Pablo : J'exige que $\sigma_{g}$ soit totalement multiplicative (comme un automorphisme de corps pourrait l'être) et permute les différents facteurs du produit, celui-ci doit donc être invariant sous son action.