L'application vide est-elle constante ?

Bonsoir,
Les deux dictionnaires que j'aime bien et que j'utilise ne sont pas d'accord : Pour Le "Dictionnaire des mathématiques" de Bouvier, George et Le Lionnais, c'est 1), pour celui de Chambadal, c'est 2) !

Pour moi, c'est 2). La "preuve" ? Pour dire que l'application f n'est pas constante, il me semble qu'il n'y a qu'une formulation, du moins qu'une qui soit naturelle : il existe deux points x, y de A pour lesquels la fonction f n'a pas la même valeur. Or la négation, c'est ..

Quoique... il reste toujours le problème des applications de l'ensemble vide dans B pour contredire cette affirmation. Ca réduit mon argument à zéro.

Je suis d'accord sur un point : pour avoir des arguments en faveur de "la bonne définition" de fonction constante, il faudrait voir les situations où cette définition, particularisée à l'ensemble vide, donne le résultat qu'on attend.
Toujours en pensant à compter les applications constantes de A dans B, je propose une troisième définition :
3) $\exists x\in A\ \forall y \in A \ f(x)=f(y)$.
C'est comme pour définir une action transitive d'un groupe sur un ensemble : exactement une orbite.

Il me semble qu'il ne saurait y avoir de définition définitive, dans la mesure où on n'est même pas sûr qu'il y ait de fonction de l'ensemble vide dans lui même !
$|\varnothing^{\varnothing}|=|\varnothing|^{|\varnothing|}=\dots$.

Je vote pour la définition 1), selon laquelle une application $f\colon E\to F$ est constante si et seulement si elle se factorise à travers un ensemble à un élément. Mais c'est seulement parce que cette définition me paraît plus esthétique, je n'ai pas d'argument scientifique pour cela.

Mais selon la définition 3) on n'a pas

$$\forall f \;\forall g\;\forall h\; (f \mbox{constante}\implies g\circ f\circ h \mbox{constante})$$

(tu) un debat estival detendant. Ca me fait penser a la difference entre dire "etre un singleton" et "etre inclus dans un singleton". L ensemble vide partage avec les singletons une propriete d atomicite qui peut interesser les gens. Sans parler d ensembles de depart, d arrivee, une fonction (ie un ensemble de couples tel que blabla) constante doit elle etre vue comme une fonction dont l image est un singleton ou plutot comme une fonction dont l image est incluse dans un singleton? Vaste question.

Pour les autres aspects il faut prendre garde au fait qu une fonction ou une application est aussi souvent consideree par les gens comme un triplet et pas seulement l ensemble de couples sousjacent

Bonjour,

Une idée jetée en l'air : L'on peut remarquer que, pour $A\ne\emptyset$, le 2) peut encore s'écrire :
$$
(\forall\,x,\,y)\left(x,\,y\in A\Rightarrow f(x)=f(y)\right)
$$
Cependant, lorsque $A=\emptyset$, l'on a les deux théorèmes
$$
(\forall\,x,\,y)\left(x,\,y\in\emptyset\Rightarrow f(x)=f(y)\right)\text{ ou }(\forall\,x,\,y)\left(x,\,y\in\emptyset\Rightarrow f(x)\ne f(y)\right)
$$
sans pour autant aboutir à une contradiction dans la théorie considérée (sauf erreur de ma part !). En effet, cela résulte de ce que l'on n'a pas $x,\,y\in\emptyset$. Autrement dit, le 2) ne permet pas de décider entre l'un ou l'autre des théorèmes de ladite théorie.

Avec tout mon respect,

Thierry

bonjour
si je prend la definition D1 = D1.1 & D1.2 & D1.3 & D1.4 & D1.5 & D1.6 & D1.7

Alors il n'existe pas d'application d'un ensemble A vers B lorsque B est vide tandis que A est non vide

D1.1
une correspondance de A vers B se définie par un triplet $\ (\ \Gamma \ ,\ A\ ,\ B\ \ )$
où dans l'ordre $\ \Gamma \ $ se nomme le graphe de A vers B
A est l'ensemble de départ
B est l'ensemble d'arrivée

D1.2
un graphe $\ \Gamma \ $ de A vers B est une partie quelconque de $\ A \ \times \ B$

D1.3
le domaine de definition d'un graphe $\ \Gamma \ $ de A vers B est l'ensemble
$\{ x| x\ \in \ A \ et \ \exists y \ \in \ B\ tel\ que\ (x,y)\ \in \Gamma \ \}$

D1.4
le domaine de d'application d'un graphe $\ \Gamma \ $ de A vers B est l'ensemble
$\{ x| x\ \in \ B \ et \ \exists y \ \in \ A\ tel\ que\ (y,x)\ \in \Gamma \ \}$

D1.5
un graphe fonctionnel $\ \Gamma \ $ de A vers B verifie
$\forall x\ \in \ A \ $ alors
soit uniquement $\ \{y|y\ \in B\ et\ (x,y)\ \in \ \Gamma\ \}\ =\ \varnothing$
soit uniquement $\ \{y|y\ \in B\ et\ (x,y)\ \in \ \Gamma\ \}\ $ est un singleton

D1.6
une application entre deux ensembles A et B est une correspondance de A vers B telle que le graphe $\ \Gamma \ $ soit fonctionnel et tel que A est le domaine de definition de ce graphe

D1.7
une application est stable si et seulement si le domaine d'application du graphe de cette correspondance
est un singleton

SELON CETTE DEFINITION

alors si je prend $\ A\ \neq \ \varnothing \ $ et $\ B\ = \ \varnothing \ $
la seule partie de $\ A \ \times \ B$ qui puisse exister est $\ \varnothing \ $
car dans ce cas $\ A \ \times \ B\ =\ \varnothing$

par conséquent le seul graphe d'une application de A vers B tel que $\ A\ \neq \ \varnothing \ $ et $\ B\ = \ \varnothing \ $ est
$\ \Gamma \ = \ \varnothing \ $
par conséquent le domaine de définition de ce graphe est
$\{ x| x\ \in \ A \ et \ \exists y \ \in \ B\ tel\ que\ (x,y)\ \in \Gamma \ \}\ =\ \varnothing$

par consequent ce graphe est fonctionnel car on verifie
$\ \{y|y\ \in B\ et\ (x,y)\ \in \ \Gamma\ \}\ =\ \varnothing$

cependant il ne s'agit pas d'une application car on vérifie

$\{ x| x\ \in \ A \ et \ \exists y \ \in \ B\ tel\ que\ (x,y)\ \in \Gamma \ \}\ \neq \ A$

mais plutôt

$\{ x| x\ \in \ A \ et \ \exists y \ \in \ B\ tel\ que\ (x,y)\ \in \Gamma \ \}\ =\ \varnothing$

Bonjour AitJoseph
j'espère pour moi et la continuité de mon "pseudo travail"* que tu ne me pose pas cette question

personnellement ma réponse me pose un problème

mais si j'accepte mes D1.1 à D1.7

tu me connais c'est moi sphinx donc tu sait que je n'ai pas fait le cursus scolaire

franchement est-ce sérieux de dire que pour A non vide et B vide alors le graphe est fonctionnel mais pas une application?

or c'est bien ce que j'obtiens si je m'obstine avec mes D1.1 à D1.7

j'ai un mega problème car pour moi les maths c'est le langage suprême (celui de Dieu lui même)

donc c'est une question de vie ou de mort

*"pseudo travail"* car au fond c'est mon problème pas celui d'un autre

Nîmes-man soit constructif
j'ai donné les sept definitions D1.1 à D1.7 qui font que l'application dont tu parle n'existe pas

mais au lieu de parler de trollage peux tu me dire où dans ma definition j'ai fait erreur?
et le cas échéant me dire merci pour t'avoir aidé

si tu ne le peux pas alors tu ferai mieux de demander à d'autres et le cas échéant dire merci

sinon sans sur enchérir Monsieur Raymond Cordier (en plus de ça personnellement j'ai pas les moyens moi c'est sphinx donc vous me connaissez : une bestiole sauvageonne)

ce qui est embêtant (mais c'est la logique induite par mes definitions à la casse bonbon) c'est au nom de quoi
si A est non vide et B est vide alors le graphe est fonctionnel mais n'est pas une application

le problème n'est pas la D1.7

la D1.7 elle interviens si A et B sont tous deux vides
à la limite c'est moins embêtant

mais il faudrait le modifier car en admettant que le graphe est fonctionnel alors de fait il faudrait admettre qu'il soit stable (oui au moins)

le D1.7 tel que dit ici ne le permet pas mais avant même de se poser la question qu'il le permet pas
ça pose un problème déjà

---

ALORS j'en conclus qu'il n'existe pas de relations entre deux ensembles si l'un d'eux est vide

mais alors mes definitions D1.1 à D1.7 doivent êtres modifiées

mais c'est mon problème...

Si tu savais ce qu'est une application d'un ensemble dans un autre, tu saurais répondre à ta question.
J'en déduis que tu ne sais pas ce qu'est une application.
Me trompé-je ?
Qu'est-ce qu'une application d'un ensemble A dans un ensemble B ?

Bonsoir,

Que penser de ceci ?

Avec tout mon respect,

Thierry

Wikipedia a écrit:

A function f from X to Y is a subset of the cartesian product X × Y subject to the following condition: every element of X is the first component of one and only one ordered pair in the subset.

source: http://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)

Ainsi, la fonction vide est parfaitement définie. Mais, pour qu'on ne puisse répondre instantanément à la question de savoir si elle est constante (*) (ou rouge), il faut bien croire que ce à quoi l'on pense quand on dit "une fonction" ne correspond pas tout à fait à ça.

(*) Il me semble que l'application vide est à la fois injective et constante...elle n est pas la seule d ailleurs mais ça montre que ce qu on dit n est pasce qu'on pense...

@clepsydre : je pense que tu as maintenant tous les éléments pour répondre à ta question.
La formule $ \forall x\ (x\in\emptyset \Rightarrow \Phi(x))$ est vraie quel que soit le prédicat $\Phi$, ce qui n'est pas sans rapport avec le fil "Peur du vide".

Bonjour

> Raymond Cordier Oui, elle est continue quelque soit l'espace topologique d'arrivée!

Bonjour à tous
je fais juste que passer
ce serai sympa d'avoir une réponse
y a t-il quelque chose qui cloche dans "mes" définitions?
je les ai justes déduit d'un bouquin d'algèbre niveau L1

j'en deduis ça : il n'existe pas d'application d'un ensemble A vers B lorsque B est vide tandis que A est non vide

pourtant ça va pas dans le sens des professionnels

je ne trouve rien dans mes déductions qui cloche mais je ne suis pas pro

ce serai pour recopier mes définitions sur "mon" bouquin mais si y a quelque chose qui cloche je vais pas le recopier c'est normal

bon merci pour toute réponse

eh bien grand merci $\ Ga_?$
pour ce qui est des définitions et de cette seule conclusion là ici précisément

Nîmes-man a écrit:

Provisoirement la fausse me suffira pour réagir : pourquoi écris-tu qu'"il n'y a pas de correspondance qui à chaque élément de A fait correspondre un unique élément de B" ?

Je ne suis pas certain de bien comprendre ce que tu veux dire par "correspondance", mais il y a en tout cas clairement une et une unique façon de faire correspondre à tout élément de $ \emptyset$ un élément de $ B$ : cette façon consiste à ne rien faire.

Parce qu'au lycée on présente grosso-modo ainsi les fonctions.

Par contre je ne comprends pas bien ton interrogation sur le mot "correspondance" :
"faire correspondre" correspond;) bien à ... une correspondance, non ?

Je ne saisis pas :
Ne "rien faire" est une façon de faire correspondre à tout élément de $ \emptyset$ un élément de $ B$