Produit semi-direct

Bonjour Archange,

Si tu as accès au livre Cours d'algèbre de D. Perrin, il y a deux ou trois pages en début du livre consacrées au produit semi-direct. Sa présentation est très élégante et efficace.

A mon avis, le produit semi-direct n'apparait pas naturellement lorsqu'on étudie l'action d'un groupe sur un espace, mais plutôt lorsqu'on veut "décomposer" un groupe comme assemblage de "plus petit groupes".

En suivant (de mémoire) la présentation de D. Perrin, soit $G$ un groupe. On se donne $N, F$ deux sous-groupes de $G$. On suppose que:
i) $N$ est distingué dans $G$,
ii) $G = NF$, c'est-à-dire $\forall \, g \in G \; \exists h \in N \; \exists f \in F:\; g = h f$,
iii) $N \cap F = \{1\}$.
Comme $N$ est distingué dans $G$, le groupe $F$ agit sur $N$ par conjuguaison:
$ \forall\, f \in F \; \forall\, h \in N:\; f_*\, h := f h f^{-1}$
On peut alors montrer que sous ses hypothèses: $G$ est isomorphe au produit semi-direct $N \rtimes F$. Plus précisément, l'application $\phi: N \rtimes F \rightarrow G$: $\phi(h,f) = h f$ est un isomorphisme. Si tu te prends un peu le temps de réfléchir, tu vois que les hypothèses ii) et iii) assurent que $\phi$ est une bijection et la structure de groupe sur le produit semi-direct a été choisi de telle sorte que $\phi$ soit un homomorphisme de groupes.

Par exemple, pour le groupe diédral $\mathbb D_{2n}$ (groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés). Tu peux considérer le sous-groupe $N \cong \mathbb Z / n \mathbb Z$ engendré par la rotation d'angle $2 \pi / n$ et $F$ le sous-groupe engendré par une réfléxion (http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_diédral).

Amicalement.

Un petit texte qui doit être dans l'esprit de ce que fait Alessandri (voir dernière section).

Voilà Ga? c'est exactement ça, sauf qu'il prend $GL_n$ entier. De mémoire il y a aussi l'observation que le PSD est abélien ssi les deux facteurs le sont et l'action est triviale.

Oui j'aime bien cette image de torsion.

"il y a aussi l'observation que le PSD est abélien ssi les deux facteurs le sont et l'action est triviale. "
Le si est trivial. Le seulement si aussi avec l'aspect "produit semi-direct de sous-groupes" (4.3 du texte attaché plus haut).