Carré magique.

fredrick · August 2013

Bonjour,

Concernant les carrés magiques je n'ai pas trouvé de site très complet sur le sujet, j'ai vu beaucoup de méthode de construction de carré pas très difficile à comprendre mais je voudrai savoir si vous pensez qu'il existe une méthode pour créer un carré en choisissant la somme des lignes et des colonnes.

Par exemple je voudrais faire un programme dans lequel l'utilisateur pourait choisir l'ordre du carré, par exemple 5, et la somme des colonnes et des lignes.

Vous avez des idées ?

Merci.

marco · August 2013

Bonjour,

Si le carré d'ordre $5$ contient les $25$ premiers entiers non nuls, la somme est nécessairement $\frac{1+2+3+\ldots+25}{5}$.

cm3 · August 2013

Bonsoir,
la construction de carrés magiques de dimension 3 est très simple en considérant une structure d'espace vectoriel (c'est d'ailleurs un bon exercice de L1) mais la difficulté augmente très vite avec la dimension...

fredrick · August 2013

marco écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,861368,861369#msg-861369
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]

Oui j'ai fais des tests sur ce genre de carré magique d'ordre 5, mais cette méthode ne donne que des sommes multiples de 5, ça ne marche pas si on veut une somme de 485 par exemple.

fredrick · August 2013

Ok je viens de trouver un site qui explique bien la formation et les propriétés des carrés magiques, et je viens de comprendre que l'ordre 5 ne pouvait donner que des carré dont la densité est multiple de 5 (si j'ai bien compris).

kolotoko1 · August 2013

Bonsoir

Les carrés magiques ont sans doute peu de choses à voir avec les espaces vectoriels.
Je n'ai pas du tout considéré ceci pour fabriquer ce carré magique d'ordre 8 pandiagonal et bimagique :
$$\begin{matrix}
34& 21& 62& 9& 20& 39& 16& 59\\
51& 8& 47& 28& 1& 54& 29& 42\\
25& 46& 5& 50& 43& 32& 55& 4\\
12& 63& 24& 35& 58& 13& 38& 17\\
45& 26& 49& 6& 31& 44& 3& 56 \\
64& 11& 36& 23& 14& 57& 18& 37\\
22& 33& 10& 61& 40& 19& 60& 15\\
7& 52& 27& 48& 53& 2& 41& 30
\end{matrix}
$$ Bien cordialement

kolotoko

cm3 · August 2013

Il n'y a évidemment pas une manière d'aborder les choses (et nous sommes tous émerveillés par le carré bimagique que tu proposes), mais il serait plutôt étonnant qu'un matheux ne voit pas le lien que l'on peut faire avec les espaces vectoriels dans le cas que j'évoquais plus haut ...
Nous attendons avec impatience quelques éléments permettant de construire de façon systématique des carrés magiques tels que tu les proposes. Merci par avance.

kolotoko0 · August 2013

Bonjour,

pour confirmer ce que cm3 nous dit, on peut lire (en français) :

J.M. Groizard : Algèbre des carrés magiques , 1984 (un peu indigeste à lire)

J. Bouteloup : Carrés magiques - Carrés latins et eulériens, 1991 (mon préféré, clair et de lecture agréable)

Belouze, Glaymann, Haug , Hertz : Les carrés magiques (APMEP)

La littérature anglaise doit être bien plus vaste.

Bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · August 2013

Bonsoir,

on doit pouvoir intéresser un élève de 3-ième ou 4-ième à la construction de carrés magiques d'ordre 3 eu 4 ( activité guidée , devoir à la maison) .
On pourra l'initier au groupe des isométries du carré .

Me trompe-je ?

Bien cordialement.

kolotoko

Judoboy · August 2013

Yep, ça permet de bien enchaîner avec la cohomologie galoisienne en seconde.

Non sans blague j'ai donné pas mal de cours particuliers en 4-3ème, et pas que à des élèves qui avaient 02 de moyenne : l'élève lambda galère pour calculer 6+11 et n'a pas la moindre idée de combien font 4*1/4. Donc les isométries du carré ça me paraît un peu ambitieux

kolotoko0 · August 2013

Bonjour,

beaucoup d'élèves savent tout de même que 6 + 11 = 17 (niveau 8 ans) .

La plupart des gamins savent bien que si j'ai 6 remplaçants dans une équipe de foot cela fait 17 joueurs en tout .

Si on a un gâteau, qu'on le coupe en 4 , tout le monde sait que si on prend 4 morceaux alors on a le gâteau entier ou que 4 quarts d'heure font une heure .

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · August 2013

Bonjour,

pour revenir à la question posée, je pense qu'il faut essayer de trouver des formules valables pour un ordre n donné .

On doit pouvoir faire cela assez facilement pour n = 3 ou pour n = 4 .

Avez vous des formules dans ces deux cas ?

Plus n est grand plus cela doit être compliqué à programmer .

Bien cordialement

kolotoko

fredrick · August 2013

Je pensai simplement faire un programme bien bourin qui calcule toutes les combinaisons possibles. C'est jouable pour un carre de 3 ou 5 de cote, faut juste laisser tourner le programme quelques jours. Evidement il faut limiter la taille des chiffres de chaques cases, ce qui limite un peu l'interet du resultat.
Mais on je pense que le resultat peut etre interessant quand meme.

Henri57 · August 2013

Un carré magique d'ordre $2n+1$ pour tout $n$, est très facile à construire en considérant le calcul modulaire :
Sur la première ligne, j'écris par exemple les nombres de $1$ à $2n+1$.
Sur la deuxième, je retranche $2$ et j'écris les nombres modulo $2n+1$ de $1$ à $2n+1$.
Sur la troisième, je retranche $2$ à la ligne précédente et j'écris les nombres modulo $2n+1$ de $1$ à $2n+1$
Et ainsi de suite, je remplis ce carré que j'appelle $C_1$.
Je prends un deuxième carré d'ordre $2n+1$.
Sur la ligne $1$, j'écris les nombres de $0$ à $2n$.
Sur la ligne $i$, je retranche $3$ des nombres de la ligne $i-1$ module $2n$ et j''écris les nombres ainsi obtenus de $0$ à $2n$.
Nous avons un carré $C_2$.
En fin de compte :
$C_1+C_2$ est un carré magique d'ordre $2n+1$, $\forall{n>2}$...

kolotoko0 · August 2013

Bonjour

Je pense toujours que l'on peut intéresser un élève de 14-15 ans à la théorie des carrés magiques.
( Car il y a une théorie, plus ou moins explicite.)
Bien entendu il vaut mieux avoir connaissance du calcul modulaire, comme le dit si bien Henri57.
Mais cela ne saurait suffire.

Je vous propose le carré magique suivant d'ordre 8, :

36, 32, 34, 30, 49, 13, 51, 15, 
17, 45, 19, 47,  4, 64,  2, 62,
40, 28, 38, 26, 53,  9, 55, 11,
21, 41, 23, 43,  8, 60,  6, 58,
16, 52, 14, 50, 29, 33, 31, 35, 
61,  1, 63,  3, 48, 20, 46, 18,
12, 56, 10, 54, 25, 37, 27, 39, 
57,  5, 59,  7, 44, 24, 42, 22

C'est un carré normal, les nombres vont de 1 à 64 et la constante magique vaut 260.
Il possède de multiples propriétés :
1) magie en ligne (déplacement (1,0)) exemple : 21+41+23+43+8+60+6+58 = 260
2) magie en colonne (déplacement (0,1), exemple : 30+47+26+26+43+50+3+54+7 = 260
3) magie pour toutes les diagonales brisées ou non (déplacement (1,1) ou (-1,1)), exemple :
17+28+23+50+48+48+37+42+15 = 260 ou 21+28+19+3044+37+46+35 = 260
Ici , on dit que le carré est pandiagonal.

Mais il y a encore d'autres propriétés.
8 cases obtenues selon les déplacements d'un cavalier aux échecs totalisent 260.
exemple :
déplacement (2,1) : 43+33+18+56+7+13+62+28 = 260
déplacement (1,2) : 43+48+24+2+58+61+5+19 = 260
déplacement (-1,2) : 43+63+5+17+58+46+24+4 = 260
déplacement (-2,1) : 43+52+18++37+7+32+62+9 = 260

On a la même propriété avec des déplacements (1,3) ou (2,3).

Mais ce n'est pas tout : dans tout carré 4X4 extrait de ce carré la somme des 8 nombres diagonaux totalisent 260 et l'octogone des 8 nombres restant aussi.
exemple : 26+8+33+46+3+29+60+55 = 53+9+6+31+20+48+50+43 = 260

Le monde de la magie arithmétique est vaste et permet bien des fantaisies.
Bien cordialement
kolotoko

kolotoko0 · August 2013

Bonjour,

d'après wikipédia, le genre de carré comme le précédent s'appellerait : carré "plus que parfait" .

La dénomination proviendrait de Madame Kathleen Ollerenshaw ( une vieille dame de 101 ans) qui a écrit un livre sur la question .

Toutefois, on trouve déjà ce genre de carré vers la fin du 19-ième siècle .

bien cordialement

kolotoko

fredrick · August 2013

J'ai acheter le livre 'Les carres magiques' de Jean-Francois PHELIZON pour m'informer un peu plus sur le sujet. Je trouve ce livre tres bien et tres accessible, meme si on est pas un grand matheu.
D'ailleur grace a ce livre j'ai reussi a realiser un cube panmagique d'ordre 1 compose d'un nombre premier

7

Oui je sais c'est pas tres impressionnant mais c'est juste un debut.

Plus serieusement j'aimerai bien savoir s'il y a des applications concretes du carre magique, ou si c'est juste une curiosite mathematique ?

(desole pour les accents mais je suis sur un clavier qwerty)

kolotoko0 · August 2013

Bonsoir,

bravo ! il faut maintenant en faire un d'ordre 2.

bien cordialement

kolotoko

maeloumalo · August 2013

Bonjour,

Il y a environ dix ans, le vendredi soir en dernière heure, j'utilisais les carrés magiques comme prétexte au calcul mental en classe de sixième, dans un collège classé ZEP.
Les élèves construisaient des carrés magiques de taille 5, en suivant la méthode de Bachet, sans trop de difficulté. (plusieurs méthodes sont décrites sur le site de thérèse Eveilleau)

Cordialement.

kolotoko0 · August 2013

Bonjour,

Le site de Thérèse Eveilleau est bien intéressant.

Je voudrais compléter mon propos sur le dernier carré C que j'ai proposé .

Au cas où vous ne l'auriez pas remarqué : tout ce que j'en ai dit est encore valable pour C^n avec n impair ( C^n = puissance n-ième de C considéré comme une matrice ) .
Autrement dit , on dispose d'une infinité de carrés magiques avec les mêmes propriétés pour le prix d'un.

Pour n pair , il ne subsiste que les alignements selon les déplacements d'une tour ou d'un cavaler aux échecs, ce qui fait 48 alignements totalisant la constante magique .
Ce qui signifie que C^n, n pair, est seulement semi-magique .

Cela se démontre facilement.

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · August 2013

Bonjour,

il parait qu'au échecs féeriques, la pièce qui se déplace comme une tour et un cavalier est appelée la femme dragon .

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · August 2013

Bonsoir,

une méthode pour construire un carré magique consiste à construire un cube magique et à le découper ensuite en tranches qui assemblées donneront le carré.

bien cordialement

kolotoko

AitJoseph · August 2013

Bonsoir

Voici un site, ça permet même de gagner des euros et du champagne !
http://www.multimagie.com
À vos jeux.
Cordialement.

[Activation du lien. AD]

kolotoko0 · August 2013

Bonsoir,

le site indiqué est un des meilleurs.

Les défis proposés le sont pour des programmeurs aguerris.

Transformer un cube en carré (et réciproquement) n'est possible que pour certains ordres .

exemple : 4^3 = 8^2 , donc on peut transformer un cube d'ordre 4 en un carré d'ordre 8 .

bien cordialement

kolotoko

AitJoseph · August 2013

Bonsoir

Est ce qu'on sait construire tous les carrés magiques ?

kolotoko0 · September 2013

Bonjour,

je ne crois pas que l'on sache construire tous les carrés magiques.

Dans le site multimagie (Boyer) , il y a un cube 4x4x4 de P.Fermat datant de 1640. Il me semble que ce cube ne vérifie pas toutes les propriétés annoncées par Fermat .
Je ne compte pas les 72 alignements promis totalisant 130.

Me trompe-je ?

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · September 2013

Bonjour,

non, je ne me trompe pas.

Dans le cube de Fermat, il y a 8 carrés magiques et 4 carrés semi-magiques de somme 130.

Ce qui fait en tout 3x16 +4x2 +4x2 = 64 alignements de somme 130 .

Il est pourtant extrêmement facile de construire un cube 4x4x4 avec 72 alignements de 130 et 12 carrés magiques.

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · September 2013

Bonjout,

il y a dix ans jour pour jour Trump et Boyer trouvaient le premier cube parfait (d'ordre 5) .

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · September 2013

Bonjour

Dans un cube normal (nombres de 1 à 512) parfait d'ordre 8, combien de parallélépipèdes ont la somme de leurs 8 sommets qui totalisent la constante magique 2052 ?

Bien cordialement
kolotoko

[Restons dans la discussion dédiée au sujet. AD]

kolotoko0 · September 2013

Bonjour,

dans un cube parfait d'ordre 8,

tous les sous-cubes d'ordre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ont la somme de leurs sommets qui totalisent 2052.

Comme le cube parfait peut être considéré comme un hypertore par collage des faces opposées, je me demande combien de relations cela fait-il et combien de relations cela induit-il concernant la somme des sommets sur des parallélépipèdes (non cube) .

Je demande ça parce que je viens de construire un tel cube parfait d'ordre 8.

J' ai trouvé plus de 4300 sommes de 8 nombres totalisant 2052 mais c'est sans garantie.

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · September 2013

Bonsoir ,

dans un cube parfait pandiagonal d'ordre 8, on peut permuter circulairement les sections du cubes parallèlement aux faces.

Ce qui donne d'autres alignements totalisant 2052.

Les cubes parfaits pandiagonaux d'ordre 8 sont ceux dont l'ordre est le plus petit .

Le premier publié l'a été en 1888 par un américain appelé F.A.P. Barnard.

Bien entendu , il ne dit pas comment il l'a obtenu.

Le savez vous ?

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · September 2013

Bonjour,

le second cube nasik d'ordre 8 fut celui de C. Planck (1905), ensuite celui de Gakuho Abe (1949) puis celui de Benson et Jacoby (1981) .

Je suis un peu étonné de voir aussi peu de cubes nasik créés, surtout à l'ère de l'informatique et des machines calculant plus vite que leur ombre.

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · September 2013

Bonjour,

on trouve dans le site de H.D.Heinz un cube parfait dû à J.R.Hendricks.

Il nous dit qu'il y a 832 lignes totalisant 2052.

En vrai, il y a aussi des alignements selon les pas (1,2) ou (1,3),...

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0 · September 2013

Bonjour,

à signaler que le cube d'ordre 5 trouvé par Trump et Boyer est parfait au sens de Trump et Boyer mais les cubes dont je parle (Barnard, Planck, Abe, ...) sont parfait en un autre sens.

On les appelle nasik cubes (Nasik, ville du nord-ouest de l'Inde) .

Les nasik cubes possèdent plus d'alignements totalisant la constante magique que les cubes parfaits au sens de Boyer et Trump.

Bien cordialement

kolotoko

rdassonval@free.fr · September 2013

Quelques travaux en fLASH qui pourraient vous intéresser.

http://rdassonval.free.fr/flash/latins4x4.swf
http://rdassonval.free.fr/flash/carres5x5.swf
http://rdassonval.free.fr/flash/carres4x4.swf
http://rdassonval.free.fr/flash/carre3x300.swf

http://rdassonval.free.fr/flash/geomagique.swf
http://rdassonval.free.fr/flash/geomagique2.swf

bailob · October 2013

Bonjour monsieur,
pourriez vous svp me fabriquer un carré magique?
j'ai une somme qui est 158 et j'aimerais faire un carré magique avec cette somme. merci davance

kolotoko0 · October 2013

Bonjour,

il faut indiquer l'ordre du carré :
.
En voici un d'ordre 4 :

32 39 41 46
45 42 36 35
38 33 47 40
43 44 34 37

bien cordialement

kolotoko

fred8313 · May 2015

Bonjour,
je cherche de l'aide pour construire un carré magique d'ordre 8 soit 64 cases dont chaque lignes et colonnes font 888.
Pouvez-vous m'aider à le construire ou bien trouver un site qui m'expliqera comment le réaliser?
Merci par avance.
Bien cordialement.

Frédéric

kolotoko · May 2015

Bonjour,

pourquoi 888 ?

le plus simple est de mettre 111 dans chacune des 64 cases.

bien cordialement

kolotoko

jacquot · May 2015

Bonjour,
Et si tu veux des nombres tous différents, tu peux partir du carré ci-dessous (Trouvé sur Wikipédia)
La somme dans chaque ligne, colonne égale 260.
Ce n'est pas satisfaisant, alors tu multiplies tout par deux.
Ensuite , sachant que 888-520 est un multiple de 8, tu sauras t'arranger. 41927

kolotoko · May 2015

Bonjour,

jacquot propose de transformer chaque valeur de x d'un carré magique 8 x 8 standard en la valeur y = 2x + 46.

La technique est simple mais ce n'est pas la seule possible.

Je conseillerais la lecture : Les carrés magiques de René Descombes chez Vuibert.

C'est un bon ouvrage qui mène le lecteur par la main.

bien cordialement

kolotoko

Dom · May 2015

Et aussi le sujet du CAPES externe 99, épreuve de Mathématiques générales.
Très instructif.

kolotoko · May 2015

Bonjour,

Natalia Makarova vient de mettre dans O.E.I.S. un carré magique d'ordre 8, plus-que-parfait constitué de 64 nombres premiers et dont la constante magique 24 024 est la plus petite possible.

Voir A258082

C'est pas du travail d'humain mais du travail d'ordinateur.

bien cordialement

kolotoko

acx01b · June 2015

bonjour,

je crois qu'on sait générer tous les carrés magiques puisque un carré magique NxN reste un carré magique par :

- addition avec un autre carré magique NxN
- permutation de lignes ou de colonnes
- ajouter un carré magique de taille MxM dans le coin haut gauche et un autre de taille (N-M)x(N-M) dans le coin bas droite, les deux carrés étant de même "nombre magique" (de même somme)

reste juste à prouver qu'on peut toujours écrire un carré magique de taille NxN comme la somme de : un carré MxM plus un autre (M-N)x(M-N) de même somme non nulle plus un carré NxN. mais avec la possibilité de permuter lignes et colonnes à mon avis ça marche.

kolotoko · June 2015

Bonjour,

ce qui est dit par acx01b concerne les carrés semi-magiques.

Pour les carrés magiques, la chose se complique.

bien cordialement

kolotoko

acx01b · June 2015

ha ouai pardon, il manque les diagonales.

et, il n'y a pas d'astuce pour ajouter les diagonales à un carré "semi" magique en passant par des symétries ou les rationnels ou les entiers négatifs ?

si on fait une symétrie centrale sur un carré semi-magique on ne doit plus être très loin du carré magique, et après il faut une base d'opérations pour changer le carré sans perdre la propriété des diagonales, un peu comme quand on fait un étage du rubik's cube sans changer les autres.

kolotoko · June 2015

Bonjour,

pour un carré magique appelons amplitude la différence entre le plus grand nombre utilisé et le plus petit nombre utilisé.

exemple : pour un carré magique standard l'amplitude vaut 64 - 1 = 63
exemple : pour la solution de jacquot ci-dessus l'amplitude vaut 63 * 2 = 126

Quelle est l'amplitude minimale pour un carré 8*8 dont la constante vaut 888 sachant que tout les nombres sont entiers et utilisés sans répétition?

J'ai construit un carré bimagique et diabolique de constante 888 dont l'amplitude vaut 88.

bien cordialement

kolotoko

françois grandeau · August 2016

Bonjour,
J'ai mis au point des méthodes simples pour la construction de carrés magiques de tous ordres.
J'obtiens également des carrés panmagiques.
J'aimerais partager mes idées.
Qu'en pensez-vous ?

kolotoko · October 2016

Bonsoir
Comment construire un carré d'ordre 8 et de constante magique valant 888 ?
Bien cordialement.
kolotoko

fred8313 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,861368,1101141#msg-1101141

Mehdi Pascal · October 2016

Salut,
supposons qu'on cherche un carré magique d'ordre 3, et dont la somme magique vaut à 1971, alors on doit savoir deux choses.
1/ comment construire un carré magique d'ordre 3, ça c'est facile puisque c'est unique sauf isométrie, tel que:

2,9,4
7,5,3
6,1,8

2/ pour avoir une somme une somme magique de notre choix, il faut calculer le plus petit élément, tel que:

A0=(1971-12)/3=653

Ainsi ce que on cherche est:

654,661,656
659,657,655
658,653,660

EXPLICITATIONS:
- 1971 c'est la somme magique de notre choix, de préférence divisible par l'ordre de carré magique, c'est juste pour éviter les virgules.
- 12 est la plus petite somme magique entière, car le plus petit carré magique commence par 0, est non 1.
- 3 est l'ordre du carré.

voilà c'est suffisant pour généraliser les autres ordres.
pour plus:

http://viXra.org/abs/1604.0138
ou contacter moi,

Méhdi Pascal
Mehdi-Pascal@hotmail.fr

kolotoko · October 2016

Bonjour,

heureusement que 1971 est divisible par 3 !

Je propose une solution parmi d'autres pour faire un carré 8x8 de constante magique 888 : construire un cube magique d'ordre 4 de constante 444 puis le découper en 4 tranches qui juxtaposées donneront le carré cherché.

Bien cordialement.

kolotoko

Carré magique.

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