estimation

Bonjour.
On pose $v(x)=\alpha + (\beta - \alpha)x$, où $x\in\, ]0,1[$. On cherche à montrer qu'il existe une constante $M > 0$ telle que $$\Big(\int_0^1 v^2(x)dx\Big)^{1/2} \leq M (|\alpha|+|\beta|).
$$ Voici ce que je fais : \begin{align*}
v^2(x) & = [\alpha + (\beta - \alpha)x]^2 \\
& \leq 2 \alpha^2 + 2 (\beta - \alpha)^2x^2 \\
\intertext{Alors }
\Big(\int_0^1 v^2(x)dx\Big)^{1/2} & \leq \sqrt{2\alpha^2+ 2(\beta-\alpha)^2 \int_0^1 x^2 dx}\\
& \leq \sqrt{2 \alpha^2 + 2 M_2 (\beta-\alpha)^2}
\end{align*} où $M_2 = \int_0^1 x^2 dx.$ Ainsi, $$\leq \sqrt{\max(2,2M_2) \big(\alpha^2 + (\beta - \alpha)^2\big)}$$
On pose $M_1 =\sqrt{ \max (2,2M_1)}$ et on a : $$
\Big(\int_0^1 v^2(x) dx\Big)^{1/2} \leq M_1 \sqrt{\alpha^2 + (\beta - \alpha)^2}
$$ et par la propriété que pour tout $a$ et $b$ non négatifs, on a $\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b},$ on a \begin{align*}
\Big(\int_0^1 v^2(x) dx\Big)^{1/2} &\leq M_1 \big(\sqrt{\alpha^2} + \sqrt{(\beta - \alpha)^2}\big)\\
& \leq M_1 (|\alpha| + |\beta - \alpha|)
\end{align*}
Ma question est : comment arriver à majorer par $M (|\alpha|+|\beta|)$ ?
Merci de l'aide.