Th des accroissements finis

f est une fonction dérivable sur [a;b]
Montrer qu'il existe c € ]a;b[ tel que f ' (c) = (a+b-2c)/(c-a)(c-b)


J'ai remarqué que (a+b-2c)/(c-a)(c-b)= 1/c-a + 1/c-b
donc f(x)= -log|a-x| - log|b-x|

Y a-t-il pas d'autres solutions ? (d'autres méthodes en utilisant le th des accroissements finis )
Et merci

Réponses

  • Bonjour Ayoub
    (excuse moi :si je t'ai bien compris)

    Alors oui il en existe une infinitée

    on peut construire une infinitée de fonctions dérivables et qui sont des applications sur un intervalle I=[m,n]
    telles que si l'on te donne $\ p_1,p_2,q_1,q_2,q'_1,q'_2$ avec $p_1,p_2$ dans I
    et tu determine une fonction qui satisfait
    $f(p_1)=q_1,f(p_2)=q_2,f\ '\ (p_1)=q'_1,f\ '\ (p_2)=q'_2$

    là tu connais f ' (c)
    tu peut donner ton c dans ]a,b[ alors si je me trompe pas ça pose pas de problème

    mais si c'est un exo on te demande une demo algebrique (elle est pas compliquée ) sans même donner un exemple (j'ai pas regardé ton exemple je suppose qu'il est bon)

    si c'est pas un exo je te donne le moyen d'en construire une infinitée

    que fais-je?
  • Merci chamath pour votre aide.

    Vous avez peut-être généralisé le cas.
    Moi je vx [veux] seulement démontrer l'existence d'un c, tout en se basant sur le théorème des accroissements finis (théorème de Rolle)
    Et merci une autre fois.

    [Michel Rolle (1652-1719) prend toujours une majuscule. AD]
  • Ayoub
    vous pouvez me tutoyer je suis pas mathématicien

    moi à la limite je vous vouvoye si vous voulez mais le contraire c'est niet!

    sinon (je crois que j'ai rien compris je suis fatigué ou je sais pas)

    si je comprend bien le c se trouve dans l'intervalle ]a,b[

    alors il existera toujours une fonction réelle et dérivable f
    et telle que f ' est une application de ]a,b[ vers $\R$

    vous pouvez donner n'importe qu'elle valeur à votre f '(c)
    vous trouverez toujours qu'il existe une infinitée de f

    combien y a t-il d'applications possibles de ${f\ '\ (c)}$ qui est un singleton vers votre intervalle? une infinitée non dénombrable
    en fait autant d'élément que dans votre intervalle

    excusez moi ...
  • bonjour Ayoub
    sinon pour exemple et des fois que ...ça serve à quelqu'un
    vous en avez une infinitée dénombrable là
    un ancien post de sphinx moi mais c'est facile vu que c'est chat-math (soit dit en passant faire un lien ça marche pas puisque la page est longue or on vise juste un post)
    une fonction on va l'appeler:
    $\mathbb R\ -> \mathbb R : f(x)=y$
    on dispose des parametres suivants: $p_1,p_2,q_1,q_2,q'_1,q'_2$ et on va construire une infinitée de fonctions possibles(mais pas toutes celles possibles uniquement selon ce que je donne) telles que:
    $f(p_1)=q_1$ et $f(p_2)=q_2$ et $f\ '(p_1)=q'_1$ et $f\ '(p_2)=q'_2$
    on en dispose d'une infinitée car cette fonction est construite selon $n \ \in \mathbb {Z}$ et $u \ \in \{0,1,-1\}$
    mais attention telle que pour u=0 alors $n\ \neq \ 0$ bon allons y pour cette fonction:
    on pose $\ p\ =\ p_2\ -\ p_1\ $ et $\ q\ =\ q_2\ -\ q_1\ $ et $\ r\ =\ q'_2\ -\ q'_1$
    on considère la fonction que l'on va appeler:
    $\mathbb R\ -> \mathbb R : h(x)\ =\ 2\ \pi \ p^{-1}\ (\ x\ -\ p_1\ )$
    et on considère trois valeurs que l'on nomme v, w et t telles que:
    lorsque u=0 alors $\ v\ =\ 2^{-1}\ (\ n\ +\ \sqrt {n^2\ +\ \pi} )$
    lorsque $u\ \neq \ 0$ alors $\ v\ =\ 2^{-1}\ (\ 2\ +\ |n| \ +\ u.\sqrt {(\ |n|\ +\ 2\ )^2\ -\ \pi} \ )$
    $\ w\ =\ \frac {\pi}{4.v}$
    $\ t\ =\ w. \sin {\frac {\pi ^2}{2.v}}\ -\ v.\sin {(2.\pi .v)} $
    on considère la fonction f et sa dérivée f' selon:
    $\ f(x)\ =\ \ q_1\ +\ q.sin (\ 4^{-1}.h(x)\ )\ +\ (\ 2^{-1}.\pi ^{-1}.q'_1.p\ -\ 4^{-1}.q\ ).sin (h(x))\ $
    $\ +\ t^{-1}.(\ 4^{-1}.q\ +\ 2^{-1}.\pi ^{-1}.p.r\ ).(\ cos (v.h(x))\ -\ cos (w.h(x))\ ) $
    $\ f\ '(x)\ =\ 2^{-1}.p^{-1}.\pi .q.cos (\ 4^{-1}.h(x)\ )\ +\ (\ q'_1\ -\ 2^{-1}.p^{-1}.\pi .q\ ).cos (h(x))\ $
    $\ +\ t^{-1}.(\ 2^{-1}.p^{-1}.\pi .q\ +\ r ).(\ w.sin (w.h(x))\ -\ v.sin (v.h(x))\ )\ $
    en attendant vous avez cette fonction et sa dérivée et selon n et u vous en disposez d'une infinitée selon les conditions initiales
    $p_1,p_2,q_1,q_2,q'_1,q'_2$


    c'est possible d'en construire une infinitée non dénombrable à partir de celles-là
  • chamath = sphinx ?
    Ca expliquerait pas mal de choses !
  • Bonjour Ayoub(cette nuit j'étais dans la lune excuse moi ça m'arrive beaucoup comme l'a très bien compris Albanv )
    bon sinon
    tu peut poser $\displaystyle \ f\ '\ (c)\ =\ f\ '\ (\sqrt {ab})\ =\ \frac {f(b)\ -\ f(a) }{b\ -\ a}\ =\ \frac {a\ +\ b\ -2.c}{(c\ -\ a).(c\ -\ b)}\ =\ \frac {(\sqrt {b}\ -\ \sqrt {a})^2}{2.a.b\ -\ \sqrt {ab}.(a\ +\ b)}$

    selon le théorême que tu désire utiliser

    il te reste a démontrer qu'il existe f tel que $\displaystyle \ f\ '\ (x)\ =\ \frac {(\sqrt {b}\ -\ \sqrt {a})^2}{2.x^2\ -\ x.(a\ +\ b)}$
  • C'est un peu n'importe quoi ce fil. Déjà le premier message
    donc f(x)= -log|a-x| - log|b-x|

    et ensuite les réponses de chamath...
  • j'ai dit une bêtise JLT?
    franchement je vois pas
    là je viens de lui donner un exemple de fonction f
    mes excuses si oui
    sinon sa solution à Ayoub j'ai pas regardé c'est pas ce qu'il demande non plus
  • A question mal posée réponse fumeuse !
    Mais c'est amusant de voir poser la question "trouver c" et d'avoir comme réponse "f=..."; ça montre bien qu'on peut écrire longuement des "calculs" sans savoir ce qu'on fait ...

    Pourtant, il y a au départ une excellente remarque " (a+b-2c)/(c-a)(c-b)= 1/(c-a) + 1/(c-b) ".

    Cordialement.
  • Chamath,

    Merci pour tes messages , je les trouve vraiment très intéressants surtout le 3ème , mais tu dois y ajouter des conditions ( a et b positifs)
    je tire alors qu'on peut poser c=sqrt(ab) . ( a<sqrt(ab)<b) et cela vérifie notre égalité

    J'ai trouvé une autre méthode en utilisant th des valeurs intermédiaires

    f ' (c) = (a+b-2c)/(c-a)(c-b) <=> f ' (c) (b-c)(a-c) -a-b+2c=0
    il suffit de poser g(x)= f ' (x) (b-x)(a-x) -a-b+2x
    g est continué à condition que f ' soit continué ( on a ajouté une condition)
    on a g(a)=a-b
    et g(b)=b-a
    alors g(a).g(b)<0
    d'après le th des valeurs intermédiaires il existe un c de [a;b] tel que g(c)=0
    alors g(c)=f ' (c) (b-c)(a-c) -a-b+2c=0 ce qui donne le résultat ;

    et merci

    Je dois apprendre à utiliser Latex
  • Voici ma méthode. Posons $g(x)=\log(x-a)+\log(b-x)$.
    On a $g'(x)=\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}$. Il faut montrer qu'il existe $c$ tel que $(f+g)'(c)=0$. Pour cela, essayer d'appliquer le théorème de Rolle (qui ne nécessite pas la continuité de la dérivée).
  • de rien ami
    post pour remercier(désolé du H.S. si vous le pensez)
    je fais confiance je scrute la réponse de Gerard0
    tu sait vous m'aidez beaucoup
    alors franchement mais de rien
    je suis un peu à la masse à cause du truc sur la rubrique "géométrie"
    ...le fil "Mystère de Euclide"
    je suis complètement à la masse
    je le lit je le relit c'est trop magique
    alors oui : je fais pas le poids
    c'est la Vie
  • P.S. pour ayoub96 : ce serait bien si tu arrives à localiser les erreurs de ton premier message.
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