Simplification d'une limite

Kito
Kito
dans Analyse
Salut,

J'ai une fonction $h:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ dont je ne sais pratiquement rien a part le fait qu'elle soit continue.
J'ai un interval fermé $[a,b]$, $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ une partition uniforme de $[a,b]$ avec $\Delta x= (b-a)/n$ pour un entier $n$.
Je veux simplifier la quantité suivante:
$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n-1} [h(x_i+\Delta x, y,\Delta x) - h(x_i, y,\Delta x)].$$
On ne sais pas si $h$ est différentiable ou pas.

Réponses

  • Kito
    Kito
    Voici ce que j'obtiens
    $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n-1} [h(x_i+\Delta x, y,\Delta x) - h(x_i, y,\Delta x)]=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\int_0^1 D_xh(x+t\Delta x,y,\Delta x)dt\right) \Delta x.$$
  • jnico
    jnico
    Bonjour,

    Est-ce vraiment du $(y,\Delta x)$ pour les deux dernières variables dans chaque terme de ta somme (et n'y a t'il pas au moins du $1/n$ devant la somme)? Car alors ces deux variables ne servent à rien et on peut discuter avec le terme $\tilde{h}(x_i+\Delta x)-\tilde{h}(x_i)$. On ne peut vraiment rien dire sans plus d'info sur $h$ car on peut avoir tout et n'importe quoi comme comportement.
  • Kito
    Kito
    En effet on laisser tomber les deux autres variables. Non, il pas $1/n$ devant quoi que ce soit.

    Tout ce qu'on sais sais de $h$ est que si on fixe la seconde et troisième variable on a
    $F(x,x+\Delta x)= h(x+\Delta x)-h(x)$ et $F$ (continue) vérifie l’équation fonctionnelle suivante:
    $$F(X,Y)+F(Y,Z)=F(X,Z).$$
  • akito
    akito
    Kito écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,861064,861068#msg-861068

    Vu que $\Delta x=(b-a)/n$, il y a peut-être moyen de faire apparaître une intégrale double.

    [Inutile de répéter un message précédent, surtout si celui-ci contient du LaTeX et qu'on ne coche pas la case ! :) AD]
  • Kito
    Kito
    Okay, j'avais omis un détail très important. Let $y$ sont en fait des $f(x_i)$ avec $f$ continue. Donc la question est de simplifier
    $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n-1} [h(x_i+\Delta x, f(x_i),\Delta x) - h(x_i, f(x_i),\Delta x)].$$
    Voici ce que j'obtiens alors,
    Quand $\Delta x\rightarrow 0$, $f(x_i)\rightrrow f(x_{i+1})$ à de la continuité de $f$. Alors la limite devient
    $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n-1} [h(x_{i+1}, f(x_{i+1}),\Delta x) - h(x_i, y,\Delta x)] = h(a,f(a))-h(b,f(b))$$
  • jnico
    jnico
    Pour faire le point sur les notations que je n'avais pas saisies au départ : Tu as $x_{i+1}=x_i+\Delta x$, c'est ça? Alors la somme
    $\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} [h(x_{i+1}, f(x_{i+1}),\Delta x) - h(x_i, f(x_i),\Delta x)] $ est télescopique et vaut la différence du premier terme et du dernier terme soit $h(x_n,f(x_0),\Delta x)-h(x_0,f(x_0),\Delta x)=h(b,f(b),\Delta x)-h(a,f(a),\Delta x)$ (la dépendance en $n$ est cachée dans le $\Delta x$ qui lui dépend de $n$). Lorsque $n\to +\infty$, $\Delta x$ tend vers $0$ donc$ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n-1} [h(x_{i+1}, f(x_{i+1}),\Delta x) - h(x_i, y,\Delta x)] = h(b,f(b),0)-h(a,f(a),0)$ par continuité de $h$.
  • Kito
    Kito
    C'est exactement ça, maintenant je veux forcer pour écrire $h(a,f(a),0)-h(b,f(b),0)=\displaystyle\int_a^b g(x,f(x))dx$ pour une fonction $g$, mais encore la différentiabilité de $h$ me retombe sur la tête.
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