Point fixe d'une rotation de l'espace

Bonjour,
Comment montrer qu'un élément de $SO_3(\mathbb{R})$ admet un point fixe ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour,

    En montrant qu'il admet une droite invariante ?
  • Une droite invariante et une droite de points invariants, ce n'est pas la même chose :D. En décomposant la rotation en produit de réflexions.

    Bruno
  • parce qu'un polynôme réel de degré 3 à toujours une racine réelle...
  • Sinon, le vecteur nul est un "point" fixe des plus présentables :)

    Bien cordialement, j__j
  • Si la question est de montrer qu'un élément $M$ de $SO_3(\mathbb{R})$ admet $1$ comme valeur propre, il suffit de remarquer que :
    $\det(M-I_3)=\det(M- \ ^tMM)= \det(I_3- \ ^tM) \det(M)= \det(I_3-M)=-\det(M-I_3)$,
    donc $\det(M-I_3)=0$.
  • Bonjour,

    Effectivement, Bruno, je me suis très mal exprimé ! en m'appuyant sur la visualisation d'une rotation dans l'espace.
  • Merci Seirios, ton raisonnement est on ne peut plus concis.:)
  • Quand on mélange les structures affines et vectorielles, on peut s'attendre à tout!
    Amicalement
    Pappus
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