Tan(PI/9)

fjaclot;0 · July 2013

Bonjour.

Y a-t-il une expression "simple" (chacun comprendra ce que j'entends par là, même si ça n'est pas une notion mathématique !) de Tan(Pi/9) ?

NB : Je crains que non, car il n'y en a pas de Sin(Pi/9) et Cos(Pi/9)

D'avance merci.
fjaclot;

nicolas.patrois · July 2013

Regarde ici : http://www.wolframalpha.com/input/?i=tan(pi/9)

jean lismonde · July 2013

Bonjour

En utilisant les polynômes de Tchebychev tu constates que $\cos\frac{\pi}{9}$ est l'une des racines d'une équation du troisième degré dont le discriminant est négatif, ce qui signifie que ce cosinus ne s'exprime pas avec des radicaux.
Il en est de même de $\tan\frac{\pi}{9}$
Cordialement

GreginGre · July 2013

Non, cela signifie que $\cos(\pi/9)$ n'est pas constructible à la règle et au compas, ou encore qu'il ne s'exprime pas à l'aide de racines carrées emboîtées, nuance.

Toutes les racines d'une équation polynomiale de degré $\leq 4$ s'expriment avec des radicaux.
En revanche, on doit utiliser les complexes, donc c'est souvent considéré comme del a triche.

On pourrait se poser la question de savoir si $\cos(\pi/9),\sin(\pi/9)$ ou $\tan(\pi/9)$ s'expriment à l'aide de radicaux de réels. Il y a, il me semble, des CNS, dont je ne me souviens plus. J'essayerai de trouver les papiers qui en parle, je les ai quelque part.

GreginGre · July 2013

Bon, j'ai retrouvé le papier en question, mais j'ai pas trop le temps de faire des calculs.

Est-ce qu'une bonne âme pourrait faire tourner une machine pour calculer:

- le polynôme minimal de $\tan(\pi/9)$ sur $\Q$

-combien de racines réelles il possède ?

- son groupe de Galois ?

Ceci dit, vu le résultat de Wolfram Alpha, ça m'étonnerait que $\tan(\pi/9)$ soit résoluble par radicaux réels.

nicolas.patrois · July 2013

$\cos~3x=4 \cos^3~x - 3 \cos~x$, si $x=\pi/9$ ça te donne une équation de degré 3 puisque tu connais $\cos \pi/3$

GreginGre · July 2013

@ NP:Je parle de $\tan(\pi/9)$, pas $\cos(\pi/9)$.

nicolas.patrois · July 2013

Une fois le cosinus et le sinus trouvés, la tangente se trouve facilement.
Mais oui, ça ne donne pas le polynôme.

enonce · July 2013

Dans un sujet similaire déjà mené par Greg l'an dernier, Jandri avait fourni la forme générale de tels polynômes : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,709850,710018 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,709850,709870#msg-709870

Appliquée à $n=9$, l'identité de Jandri fournit $P = X^8-36X^6+126X^4-84X^2+9$, qui a $8$ racines réelles.

enonce · July 2013

Seul défaut : le polynôme $P$ ci-dessus n'est pas irréductible puisque $P = (X^2-3)(X^6 -33X^4 + 27X^2-3)$, donc pour le groupe de Galois, faudra repasser.

enonce · July 2013

Bon, cette fois, le polynôme $P = X^6 -33X^4 + 27X^2-3$ est irréductible sur $\Z$ et $\tan (\pi/9)$ est l'une de ses racines. Il a $6$ racines réelles et $\textrm{Gal} (P / \Q) \simeq C_6$.

GreginGre · July 2013

Ok, donc ça veut dire que si on appelle l'unique sous-corps $K$ de $\Q(\tan(\pi/9))$ de degré $2$ sur $\Q$, alors le polynôme minimal de $\tan(\pi/9)$ sur $K$ est de degré $3$ et a $3$ racines réelles.

Or, il y a un théorème qui dit que dans ce cas aucune de ces racines réelles n'est exprimable à l'aide de radicaux réels, donc c'est plié.

Merci à énoncé pour les calculs. Et maintenant, je vais me coucher...

samok · July 2013

Bonjour,

si l'on avait été dans les conditions d'application de ce théorème, aurions-nous eu la valeur avec les radicaux ou est-ce comme le théorème des valeurs intermédiaires ?

S

enonce · July 2013

Merci à Greg pour la conclusion de cet exo.

Greg : même si je vois à peu près de quel outil tu parles, pourrais-tu ou bien mettre l'énoncé ou bien une référence, si tu as ça sous la main ? Cela pourrait même répondre à la question de Samok.

Thanks.

GreginGre · July 2013

Le voilà!

enonce · July 2013

Mille mercis, Greg ! (tu)

Je range ça dans mes tablettes...

fjaclot;0 · July 2013

Bonsoir,

Merci a tous, en particulier a Greg pour la demonstration et la reference pour sa generalisation.

A+
fjaclot;

PB · July 2013

Une remarque facile : tous les tan(pi/n) s'expriment par radicaux (complexes). En effet, ils appartiennent à une extension abelienne de Q.

GreginGre · July 2013

Pas besoin de sortir l'artillerie lourde. Si on pose $\zeta=e^{i\pi/n}$, alors $\zeta^{2n}=1$, c'est donc un "radical complexe". De plus, $i$ est aussi un radical puisque $i^4=1$. Comme on a $\tan(\pi/n)=\frac{\zeta-\zeta^{-1}}{i(\zeta+\zeta^{-1})}$, on a le résultat recherché

PB · July 2013

Greg :c'est de la triche

On pourrait convenir de
n'accepter a^(1/n) que si X^n-a est irréductible.

breukin · July 2013

L'équation dont $ \displaystyle \tan(\pi/9) $ est racine donnée par Wolfram n'est pas optimisée (mais peut-être des coefficients entiers ont été recherchés ?)...

De $ \displaystyle \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $ et $ \displaystyle \sin 3x = 3\sin x - 4 \sin^3 x $, on déduit $ \displaystyle \tan 3x = \tan x \frac{3-\tan^2 x}{1-3\tan^2 x} $.

Et donc $ \displaystyle \tan(\pi/9) $ est racine de $ \displaystyle x^3 - \sqrt{3}x^2 - 3x + \sqrt{3}/3 = 0 $

En posant $ \displaystyle y = x - 1/\sqrt{3} $, $ \displaystyle \tan(\pi/9) - 1/\sqrt{3} $ est racine de $ \displaystyle y^3 - 4y - 8\sqrt{3}/9 = 0 $, dont le discriminant $ \displaystyle 4p^3 + 27q^2 $ est négatif et vaut $ \displaystyle -192 $ sauf erreur.

enonce · July 2013

J'ai déjà donné plus haut le polynôme minimal à coefficients {\it entiers} de $tan \pi / 9$.

Tan(PI/9)

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion