Corps finis

Utilisateur anonyme
Utilisateur anonyme
dans Algèbre
Bonjour, j'ai juste deux petites questions:

Est-ce que deux corps finis de même cardinal sont isomorphes ?
Est-ce qu'il existe un corps avec 6 éléments ?

Je dirais non pour les deux, mais sans certitude. Merci,

Réponses

  • Le respect
    Le respect
    Oui, non
  • jobherzt
    jobherzt
    Pour préciser un chouïa : soit $n$ un entier, alors il existe un corps de cardinal $n$ ssi $n$ est une puissance d'un nombre premier, et dans ce cas ce corps est unique à isomorphisme non unique près.
  • PB
    PB
    Isomorphisme non unique sauf si...
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    ok, merci :-)
  • afk
    afk
    Isomorphisme non unique sauf si...

    ... on est informaticien?
  • PB
    PB
    Z/2Z n'est pas le seul corps avec un seul automorphisme (:P)
  • Le respect
    Le respect
    jobhertz a écrit:
    ce corps est unique à isomorphisme non unique près
    Qu'est ce que vous racontez?!
    Avec tout mon Respect.
  • afk
    afk
    Si $K$ est un corps fini, on a $\Z \to K$ qui se factorise en $\mathbb{F}_p \to K$ et fait de $K$ un $\mathbb{F}_p$-ev donc de cardinal $p^d$. Après on montre que deux corps finis de cardinal $p^d$ sont isomorphes (par exemple car ce sont les corps de décomposition de $X^{p^d}-X$ sur $\mathbb{F}_p$). Mais l'isomorphisme en question n'est pas unique car $Aut(\mathbb{F}_{p^d}) \simeq \Z/d$. Donc deux corps finis de même cardinal sont isomorphes mais de façon non canonique.
  • ...
    ...
    afk écrivait:

    $Aut(\mathbb{F}_{p^d}) \simeq \Z/p^d$.
    Cette dernière assertion est fausse : pour d=1, p quelconque, $Aut(\mathbb{F}_p)$ est réduit à l'identité. En effet tout automorphisme de corps fixe 1 et préserve la somme donc ici
    $n ~mod~ p=n\times 1_{\mathbb{F}_p}=1+\cdots+1$ est envoyé sur lui même.

    [ Edit: pseudo effacé ]
  • PB
    PB
    Pour préciser : $\mathrm{Aut}(\mathbf F_{p^d})=\mathrm{Gal}(\mathbf F_{p^d}/\mathbf F_p)$ est cyclique d'ordre $d$ (le degré de l'extension) donc $\simeq \mathbf Z/d\mathbf Z$.
  • afk
    afk
    Il s'agissait évidemment d'une typo. J'ai corrigé.
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