Polynôme de Z[X]

Pour répondre à la première question: si $P=QR$, alors en identifiant les contenus, on voit que $Q=cQ_0,R=c^{-1}R_0$, avec $Q_0,R_0$ primitifs, $c\in\Q^\times$.

Donc $P=Q_0R_0$, ce qui montre aussi que $Q_0$ et $R_0$ peuvent être choisis unitaires, quitte à remplacer $c$ par $-c$.

Mézalor, $Q=Q_0$ car $Q$ est unitaire.

La réponse est donc oui à la deuxième question aussi.

cela tourne autour d'un lemme de Gauss, qui dit que le produit de deux polynômes de $\Z[X]$ primitifs est encore primitif.

Je rappelle que "primitif" veut dire que le pgcd des coefficients du polynôme vaut $1$.

Pour démontrer ça, on procède par l'absurde. On suppose qu'il y a un nombre premier $p$ qui divise tous les coefficients du polynôme produit; et on obtient assez vite une contradiction en travaillant dans $\Z/p\Z[X]$, qui est un anneau intègre.


On définit le contenu de $f\in\Z[X]$ non nul comme suit: on écrit $f=c f_0, c\in\Q^\times, f_0\in\Z[X]$ primitif.

L'écriture est unique à multiplication par $\pm 1$ près. On peut donc même rendre l'écriture unique si on choisit $c>0$ (ce que je n'ai pas fait dans mon message précédent).

On définit alors $c(f)=c$. Le lemme de Gauss te dit alors que $c(fg)=c(f)c(g)$ pour tous $f,g\in\Q[X]$.

Si tu as besoin de détails, n'hésite pas.

Merci infinimenent à toi Ga? (tu)

Encore une fois merci, AD ! \qquad [À ton service. AD]
J'ai dit la même chose que Greg, mais je l'ai tout de même posté puisque je m'étais donné la peine de l'écrire. Une petite différence est que j'ai éliminé des coupures, ce qui passe le contenu à la trappe . Une petite précision à apporter : "'il existe un rationnel $ c>0$ vérifiant ..."

[Corrigé $c>0$ dans ton message. j]

Ca ne va pas : à la première étape de la division, le quotient du coefficient dominant de mA par le coefficient dominant de mB est bien entier. Mais après ?

Ga? écrivait:

---

> Ca ne va pas : à la première étape de la division,
> le quotient du coefficient dominant de mA par le
> coefficient dominant de mB est bien entier. Mais
> après ?

L'algorithme de la division euclidienne élimine les monômes du dividende grâce au coefficient dominant du diviseur. A chaque étape, le coefficient dominant du dividende courant (ie le reste courant) est de la forme $ma$ avec $a$ entier (car on divise $mA$ au départ) donc tu pourras l'éliminer en plaçant en quotient courant un monôme de coefficient $a$ puisque le coefficient dominant du diviseur est $m$ : ton quotient est entier et ton reste aussi.

@ c.candide : j'apprécierais que, quand tu me cites, tu ne falsifies pas la citation. Il m'arrive plus souvent qu'à mon tour de faire des coquilles, mais quand j'ai parlé des classes des polynômes dans $\Z/p\Z[X]$ et que j'ai dit que cet anneau est intègre, c'était bien $\Z/p\Z[X]$ et pas $\Z/p\Z$.

Ga? écrivait:

---

> coquilles, mais quand j'ai parlé des classes des
> polynômes dans $\Z/p\Z$


Je te cite :


> les classes de $\pi(Q)$ et $\pi(R)$ sont non nulles

$\pi(P)$ est un polynôme et tu parles bien de la classe de ce polynôme mais il ne s'agit pas de cela (quel serait l'anneau quotient ?) puisque clairement tu nous parles d'un polynôme de $\mathbb F_p[X]$ (communément appelé la réduction modulo $p$ de $P$) anneau qui n'est pas un quotient [même s'il est isomorphe au quotient de $\Z[X]$ par son idéal engendré par le polynôme constant $p$].

Et je constate que tu persistes dans ta falsification de citations. S'il y a une chose qui me fait horreur, c'est la mauvaise foi.

1°) Ne rajoutes pas à ta mauvaise foi en faisant semblant de ne pas comprendre: tu tronques systématiquement les $\Z[X]$ en $\Z$ dans tes citations. Ca ne se fait pas tout seul, ça demande une modification volontaire de ta part.
2°) Ta "démonstration" n'existe pas. Tu n'as donné aucun argument valable pour justifier le fait que l'algorithme de division euclidienne ne produit que des entiers sur toutes les lignes, et pas seulement sur les deux premières qui sont $mA$ et $m(A- X^{\deg A-\deg B}\,\mathrm{coeffdom}(A)\,B)$. Ne vois-tu pas que les coefficients de ce dernier polynôme n'ont aucune raison d'être divisibles par $m$, ce qui fiche tout ton discours en l'air ?

@c.candide, j'ai un peu suivi l'échange hier de mon tel dans le trom.

Au delà des citations etc (si tu veux citer correctement, tu peux utiliser "quote" ... "/quote" en mettant des crochets autour, pour éviter les incompatibilités latex), je n'ai pas compris du tout pourquoi tu:

1) a revendiqué le statut de preuve pour ton post (ce n'en est pas une, quand bien même il aurait été vrai que le plan que tu proposais ne bugguerait pas)

2) tu n'as pas développé en détails quand Ga? a objecté sceptiquement

3) tu as inversé les rôles et objecté sceptiquement à un passage de sa preuve.

Concernant (3), si tu relis tu verras que le texte de Ga est complètement structuré en preuve, ie A1 donc A2 donc ... donc conclusion. Il est limpide. dans toute preuve il y a des admis (axiomes logiques, théorèmes acquis, etc). Mais les admis*** de sa preuve sont parfaitement identifiables, et tu aurais pu éventuellement, si tu avais un doute, en pointer un précis et juste dire "pourquoi?". Et même ça, ça aurait été disons "déontologiquement" plus clair si tu n'avais pas toi-même apporté un texte que tu revendiquais comme preuve.

Je pense qu'il est important, quand on est sceptique de garder ce rôle, avant de se proposer prouveur à l'instant t, et ce pour que les choses soient bien claires. L'échange a été très bizarre et si je caricature, a ressemblé à

G: voici une preuve P
C: voici une preuve Q
G: je suis sceptique face à Q
C: je suis sceptique face à P
etc, etc

Quand bien même aucune des preuves (ou les deux) auraient été acceptables, ce profil trop symétrique d'échanges ne pouvait que donner l'impression que chacun amène son poisson et qu'il y a désaccord sur le bon règlage de la balance qui pèse les poissons.

*** le plus "impressionnant" disons étant que si deux polynômes de $\Z[X]$ ont des coefficients premiers entre eux dans leur ensemble alors leur produit aussi (Ga? l'a d'ailleurs justifié, mais en une ligne concise si j'ai bien compris)

Que chui bête.

Supposons que l'écriture $(aX^n+Q)(bX^k+R) = pT$ décrive un contre-exemple.

En "inversant" a et b dans $F_p$, on obtient une écriture de la forme:

$(X^n+Q')(X^k+R') = pT'$... contradiction (sauf erreur, + flemme de rédiger, ça m'a trop pris la tête)

donc, oui, edit: $\Z[X] / p\Z[X]$ est bien intégre

edit2: n'importe quoi, j'ai juste prouveré que WLOG on peut supposer que A,B ont un coef égal à 1

Soit $A$ un anneau (commutatif) et $J$ un idéal premier de $A$. Soient $U,V$ des polynomes $\in A[X]$ . Alors si tous les coefs du polynome $UV$ sont dans $J$, alors l'un des deux polynomes $U$ ou $V$ a aussi cette propriété.

J'ai galéré une heure hier midi à chercher ça

L'argument est le suivant: on écrit que $U = aX^n + U'$ et $V=bX^k+V'$ où $n,k$ sont les degrés les plus hauts à ne pas donner un coef dans $J$. Alors en annualnt tous les coefs de $J$, on obtient, semble-t-il que $UV ==_J $ un truc de la forme $abX^{n+k} + blabla$ et le coef $ab$ de degré $n+k$ n'est pas dans $J$.

(Pas d'erreur, sur le principe?)

donc $(A/J)[X]$ aussi.

Oui, mais c'est justement ça que je ne voulais pas utiliser, précisément le passage de ça à $A[X] / (J.A[X])$, parce qu'il me semble (sauf erreur) que la difficulté reste au moment de prouver l'isomorphisme entre les deux, non?

Tu n'utilises pas d'iso.

On a l'équivalence $P\in A[X]$ a tous ses coefficients dans $J$ ssi $\bar{P}\in (A/J)[X]$, où $\bar{P}$ est la réduction mod $J$ des coefficients..

Le seul truc à voir probablement, pour pouvoir faire la démo, est que $P\mapsto \bar{P}$ est un morphisme d'anneaux, mais ça se refait très bien à la main.