Forme bilinéaire symétrique

Bonsoir.

1) On ne sait pas ce qu'est g.
2) Serait-ce : $ f(x,y)+f(y,x)=2g(x,y)=2g(y,x) $ ?
3) Dans ce cas, si on pose $g(x,y)=f(x,y)+f(y,x)$, alors, par commutativité de l'addition, $g(x,y)=g(y,x)$

Cordialement.

Si $f$ est n'importe quelle forme bilinéaire alors $g: (x,y) \mapsto \frac{1}{2}(f(x,y)+f(y,x))$ est une forme bilinéaire symétrique. L'application $Sym: f\mapsto g$ ainsi définie est la projection de l'espace des formes bilinéaire sur l'espace des formes bilinéaires symétriques paralléllement à l'espace des formes bilinéaires antisymétriques. On a donc $f = g$ ssi $f$ symétrique et $g = 0$ ssi $f$ est antisymétrique.

En particulier, tu ne peux rien déduire de la partie antisymétrique de $f$ à partir de sa symétrisée $g$.

Es-tu sur d'avoir relu ta question?

Je t'ai déjà donné la réponse: la symétrisation $f \mapsto g$ est une projection. Toute information sur la partie antisymétrique de $f$ est détruite par l'application. Tu ne peux donc pas espérer récupérer $f$ simplement à partir de $g$.

Si tu veux un analogue analytique considère une fonction holomorphe $f: D(0,1) \to \C$. Elle s'écrit $f(z) = \sum_{n\geq 0} a_n z^n$. On peut lui associer $g(z) = (f(z)+f(-z))/2$ qui admet le développement $g(z) = \sum_{n\geq 0} a_{2n} z^{2n}$. Tu as perdu toute l'information sur les coefficients impairs $a_{2n+1}$ donc tu ne peux pas espérer déterminer $f$ à partir de sa partie paire $g$.