Forme bilinéaire symétrique
Réponses
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Bonsoir.
1) On ne sait pas ce qu'est g.
2) Serait-ce : $ f(x,y)+f(y,x)=2g(x,y)=2g(y,x) $ ?
3) Dans ce cas, si on pose $g(x,y)=f(x,y)+f(y,x)$, alors, par commutativité de l'addition, $g(x,y)=g(y,x)$
Cordialement. -
Et je ne vois pas pourquoi l'ev $H$ serait de Hilbert, son produit scalaire n'est pas utilisé, à moins que ce soit $g$ ?
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Si $f$ est n'importe quelle forme bilinéaire alors $g: (x,y) \mapsto \frac{1}{2}(f(x,y)+f(y,x))$ est une forme bilinéaire symétrique. L'application $Sym: f\mapsto g$ ainsi définie est la projection de l'espace des formes bilinéaire sur l'espace des formes bilinéaires symétriques paralléllement à l'espace des formes bilinéaires antisymétriques. On a donc $f = g$ ssi $f$ symétrique et $g = 0$ ssi $f$ est antisymétrique.
En particulier, tu ne peux rien déduire de la partie antisymétrique de $f$ à partir de sa symétrisée $g$. -
merci,
désolé encore
il y a une erreur de ma part $ f(x,y)+f(y,x)=2g(x,y)=2g(y,x) $. g est symétrique.
Ma question est : Est ce qu'on peut exprimer $ f(x,y) $ en fonction de $ g(x,y) $. -
Es-tu sur d'avoir relu ta question?
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désolé encore
il y a une erreur de ma part $ f(x,y)+f(y,x)=2g(x,y)=2g(y,x) $. g est symétrique.
Ma question est : Est ce qu'on peut exprimer $ f(x,y) $ en fonction de $ g(x,y) $. -
Je t'ai déjà donné la réponse: la symétrisation $f \mapsto g$ est une projection. Toute information sur la partie antisymétrique de $f$ est détruite par l'application. Tu ne peux donc pas espérer récupérer $f$ simplement à partir de $g$.
Si tu veux un analogue analytique considère une fonction holomorphe $f: D(0,1) \to \C$. Elle s'écrit $f(z) = \sum_{n\geq 0} a_n z^n$. On peut lui associer $g(z) = (f(z)+f(-z))/2$ qui admet le développement $g(z) = \sum_{n\geq 0} a_{2n} z^{2n}$. Tu as perdu toute l'information sur les coefficients impairs $a_{2n+1}$ donc tu ne peux pas espérer déterminer $f$ à partir de sa partie paire $g$. -
merci beaucoup afk
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merci
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Tiens je dirais que non : en raisonnant matriciellement (je suppose qu'on est en dimension finie), prendre $A$ (la matrice de $f$) non symétrique et pour $B$ (la matrice de $g$) la partie symétrique de $A$ et il me semble alors que $^tXBX=^t\!XAX$ car $^tXAX=^tX^tAX$ alors que $A\neq B$.
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