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aiz337 · June 2013

Bonsoir à tous, j'ai besoin de votre aide svp.

Soit $E$ un $\mathbb{C}$ espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$
Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant la relation : $(f-Id)\circ(f-2Id)^2=0$
On pose $E_{1}=\ker(f-Id)$ et $E_{2}=\ker(f-2Id)^2$
On suppose que $\dim E_{1}\geq 1$ et $\dim E_{2}\geq 1$.
Montrer que $E=E_{1}\oplus E_{2}$
==>J'ai montré que $E_{1} \cap E_{2}=\{0\}$, il me reste de montrer maintenant que $E=E_{1}+E_{2}$ ce que je n'arrive pas à faire.
Vos suggestions svp

mister_jones · June 2013

Écris la relation sur $f$ en terme de polynômes et utilise le théorème de Bézout.

c.candide · June 2013

En l'espèce, on doit pouvoir faire plus simple que d'utiliser Bézout [même si Bézout est le cadre général de preuve du lemme des noyaux dont c'est ici un cas particulier]. D'abord, alléger en posant $g=f-2Id$ ce qui donne $(g+Id)g^2=0$. Ensuite écrire une décomposition $x=a+b$ avec donc $g(a)=-a$ et $g^2(b)=0$ et appliquer $g^2$ ce qui donne $a=g^2(x)$ puis $b=x-g^2(x)=(Id-g^2)(x)$. Ça c'est pour la partie "analyse". Pour la partie "synthèse" vérifier que réciproquement, $a$ et $b$ sont bien là où ils doivent être. Pour $a$ c'est immédiat par hypothèse sur $g$. Pour $b$, ça donne $g^2(b)=g^2(Id-g^2)(x)=g^2(Id+g)(Id-g)(x)=(Id+g)g^2(Id-g)(x)=0$.

Le respect · June 2013

$x=(f(x)-x)+(2x-f(x))$

c.candide · June 2013

Le respect écrivait:

> $x=(f(x)-x)+(2x-f(x))$

En effet, c'est assez simple (Bézout : $1=1(X-1)+(-1)(X-2)$) maintenant si on ne connait pas le truc, c'est pas forcément facile à imaginer.

c.candide · June 2013

Le respect écrivait:

> $x=(f(x)-x)+(2x-f(x))$

Vous êtes sûr que ça marche ? Posons $a=2x-f(x)$ et $b=f(x)-x$. On a $b\in\ker(f-2Id)^2$ comme souhaité mais comment démontrez-vous que $a\in\ker(f-Id)$ ?

EDIT : Le calcul dans mon message plus haut semble montrer que la bonne décomposition est plutôt $a=(f-2Id)^2(x)$.

Le respect · June 2013

J'ai pas vu le $2$ qui est en exposant. OK

Pablo_0 · June 2013

Salut :
Je pense que le résultat découle de l'application directe du lemme des noyaux, et du théorème de Cayley-Hamilton.
Regardez ici : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/reducmat1/reducmat1_ch04/co/apprendre_ch4_07.html
Cordialement.

c.candide · June 2013

Pablo
À mon avis, le PO ne dispose pas du lemme des noyaux. Et sinon, je pense que Cayley Hamilton n'a pas de rapport ici.

[Inutile de répéter le message précédent. AD]

aiz337 · June 2013

j'ai trouvé la réponse les amis
en effet il suffit de décomposé $x$ de la façon suivante :
$x=(f^2(x)-4f(x)+4x) + (4f(x)-f^2(x)-4x)= (f-2Id)^2(x) + (4f(f)-f^2(x)-3x)= a+b$ ou $a= (f-2Id)^2(x)$ et $b=(4f(f)-f^2(x)-3x$
il est clair donc que $a \in Ker(f-Id)$ ( par hypothèse )
et par un simple calcul on montre que $b \in ker(f-2Id)^2$ et on se rappelant que $ (f-Id)\circ(f-2Id)^2=0$ c'est a dire que $f^3 -5f^2+4f-4Id=0$
Merci pour vos suggestions
mais bon, je me demande, comment utilisé le théorème des noyaux pour aboutir le même résultat
Merci me m'expliquer comment faire , parce que je vois pas le rapport

c.candide · June 2013

aiz337 écrivait:

> j'ai trouvé la réponse les amis
> en effet il suffit de décomposé $x$ de la façon
> suivante :
> $x=(f^2(x)-4f(x)+4x) + (4f(x)-f^2(x)-4x)=
> (f-2Id)^2(x) + (4f(f)-f^2(x)-3x)= a+b$ ou $a=
> (f-2Id)^2(x)$

L'explicitation de $b$ n'est pas utile, cf. mon premier message.

> Merci pour vos suggestions
> mais bon, je me demande, comment utilisé le
> théorème des noyaux pour aboutir le même résultat
>

$A= X-1$ et $B=(X-2)^2$ sont premiers entre eux et $AB$ est annulateur de $f$, après il reste plus qu'à l'appliquer.

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