Opérations avec le zéro et l'infini
dans Arithmétique
Comme nouveau membre, je précise d'abord n'être qu'un amateur en mathématiques, assez ignare même. Mais je ne demande qu'à m'améliorer ! Je suis particulièrement intéressé par la logique, la démographie mathématique et le calcul des probabilités. Mais pour le moment, je me suis amusé à réfléchir au problème posé par le zéro et l'infini dans les calculs arithmétiques.
Je vous présente donc mes petites équations pour les quatre opérations classiques. Beaucoup sont évidentes, certaines moins. Je les ai toutes indiquées pour des comparaisons intéressantes. Voici tout d'abord mes conventions, en précisant que les nombres réels excluent ici le zéro et l'infini :
0 = nombre zéro
NR = nombre réel (entier ou décimal)
SF = sans fin (infini) ou science-fiction
LES ADDITIONS
0 + 0 = 0
0 + NR = NR
0 + SF = SF
NR + 0 = NR
NR + NR = 2 NR
NR + SF = SF
SF + 0 = SF
SF + NR = SF
SF + SF = SF
LES MULTIPLICATIONS
0 x 0 = 0
0 x NR = 0
0 x SF = 0
NR x 0 = 0
NR x NR = NR2
NR x SF = SF
SF x 0 = 0
SF x NR = SF
SF x SF = SF
LES SOUSTRACTIONS
0 - 0 = 0
0 - NR = - NR
0 - SF = - SF
NR - 0 = NR
NR - NR = 0
NR - SF = - SF
SF - 0 = SF
SF - NR = SF
SF - SF = 0
LES DIVISIONS
0 / 0 = 1
0 / NR = 0
0 / SF = 0
NR / 0 = SF
NR / NR = 1
NR / SF = 0
SF / 0 = SF
SF / NR = SF
SF / SF = 1
Pour conclure, pouvez-vous signaler mes erreurs ? S'il y en a, bien sûr !
Je vous présente donc mes petites équations pour les quatre opérations classiques. Beaucoup sont évidentes, certaines moins. Je les ai toutes indiquées pour des comparaisons intéressantes. Voici tout d'abord mes conventions, en précisant que les nombres réels excluent ici le zéro et l'infini :
0 = nombre zéro
NR = nombre réel (entier ou décimal)
SF = sans fin (infini) ou science-fiction
LES ADDITIONS
0 + 0 = 0
0 + NR = NR
0 + SF = SF
NR + 0 = NR
NR + NR = 2 NR
NR + SF = SF
SF + 0 = SF
SF + NR = SF
SF + SF = SF
LES MULTIPLICATIONS
0 x 0 = 0
0 x NR = 0
0 x SF = 0
NR x 0 = 0
NR x NR = NR2
NR x SF = SF
SF x 0 = 0
SF x NR = SF
SF x SF = SF
LES SOUSTRACTIONS
0 - 0 = 0
0 - NR = - NR
0 - SF = - SF
NR - 0 = NR
NR - NR = 0
NR - SF = - SF
SF - 0 = SF
SF - NR = SF
SF - SF = 0
LES DIVISIONS
0 / 0 = 1
0 / NR = 0
0 / SF = 0
NR / 0 = SF
NR / NR = 1
NR / SF = 0
SF / 0 = SF
SF / NR = SF
SF / SF = 1
Pour conclure, pouvez-vous signaler mes erreurs ? S'il y en a, bien sûr !
Réponses
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Bonjour Spalding et bienvenu sur ce forum
Pourrais-tu nous indiquer ton niveau d'études en mathématiques, afin que l'on puisse te proposer une réponse adaptée. En particulier as-tu des notions de convergence, de limites, de topologie, de nombres complexes ? Je tente tout de même une réponse.
Il faut savoir qu'un des aspects qui donnent aux mathématiques leur puissance est la créativité du mathématicien. Tu as le droit de poser les définitions que tu veux, et d'inventer les objets mathématiques que tu désires. Je ne rentre volontairement pas dans le détail de savoir comment exprimer ces nouveaux objets dans l'axiomatique ZFC, on a fait des mathématiques bien avant de savoir comment définir de manière ensembliste les nombres complexes par exemple, c'est déjà pas mal de savoir poser leur définition. Ainsi tu as le droit en un certain sens d'introduire le symbole infini et des opérations sur lui. Pour être parfaitement rigoureux il faudrait définir ton nouveau symbole infini comme un ensemble dans ZFC mais ça n'est pas ça le problème comme je l'ai déjà dit.
Le problème est dans le fait que tu utilises les mêmes notations des opérations usuelles (addition et multiplication) sur un nouvel objet (l'infini) sans démontrer que ces nouvelles opérations ont les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication usuelles. En l'occurrence ce n'est pas le cas. Par exemple si j'utilise les propriétés usuelles je peux dire que comme 0/0 = 1, et 5x0 = 0, j'ai (5x0)/0 = 1, mais (5x0)/0 = 5 x (0/0) = 5x1 = 5, et donc 1 = 5 !!! Tu as donc défini un nouvel objet qui n'a malheureusement pas d'intérêt puisqu'aucune des propriétés usuelles ne reste valable :)o
Prenons un autre exemple pour mieux comprendre. Supposons que je définisse un nombre que j'appelle i tel que i² = -1. i n'est donc pas un nombre réel, puisque i a un carré strictement négatif. Je définis ensuite les nombres complexes z = a+ib avec a et b réels, puis j'étends les définitions de l'addition et de la multiplication en prenant en compte que je veux i² = -1. Alors on peut démontrer que les propriétés des opérations usuelles restent valables, par exemple on peut inverser tout nombre complexe non nul. On dit que les nombres complexes forment un corps qui inclus le corps des nombres réels. Le seul point subtil à nouveau est que formellement les nombres complexes n'existent dans ZFC que si je les définis de manière ensembliste, c'est-à-dire par exemple en posant les nombres complexes comme des couples de nombres réels et en définissant les opérations usuelles dessus en prenant en compte qu'on veut que i² = (0,1)² = -1 = (-1,0), on vérifie alors que les propriétés de ces opérations sont celles qu'on veut, en mathématiques on dit que les nombres complexes forment un corps.
La question de la légitimité des définitions en mathématiques est très intéressante. Je ne pense pas que la réponse soit très difficile, mais cela nécessite un peu de recul sur la construction des objets mathématiques dans ZFC, sur l'histoire des maths aussi
J'espère que tu connais les nombres complexes, je trouve cet exemple assez pertinent avec mon modeste (et ce n'est pas de la fausse modestie, d'autres intervenants auront peut-être un point de vue fort différent du mien et plus pertinent) recul en mathématiques. N'hésite donc pas à demander plus d'explications. Peut-être que j'ai d'ailleurs mal saisi le sens de ton message, dans ce cas excuse moi.
A bientôt,
PS : qu'est ce que la démographie mathématique ? -
skyffer3 a écrit:Pourrais-tu nous indiquer ton niveau d'études en mathématiques, afin que l'on puisse te proposer une réponse adaptée. En particulier as-tu des notions de convergence, de limites, de topologie, de nombres complexes ? Je tente tout de même une réponse.
J'ai dit que j'étais assez ignare dans ce domaine. Je n'ai que le niveau bac en mathématiques. Par contre, je suis calé en psychologie, avec un livre en préparation. Mais c'est une autre question !skyffer3 a écrit:Le problème est dans le fait que tu utilises les mêmes notations des opérations usuelles (addition et multiplication) sur un nouvel objet (l'infini) sans démontrer que ces nouvelles opérations ont les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication usuelles. En l'occurrence ce n'est pas le cas. Par exemple si j'utilise les propriétés usuelles je peux dire que comme 0/0 = 1, et 5x0 = 0, j'ai (5x0)/0 = 1, mais (5x0)/0 = 5 x (0/0) = 5x1 = 5, et donc 1 = 5 !!! Tu as donc défini un nouvel objet qui n'a malheureusement pas d'intérêt, puisqu'aucune des propriétés usuelles ne reste valable.
Effectivement, j'ai envisagé un nouvel objet : l'infini. Aucune des propriétés usuelles ne reste valable, mais c'est assez normal avec l'infini. Intéressons-nous plutôt à ses propriétés inhabituelles. Examine donc en détail mes équivalences, et vois si elles sont plausibles. Je te laisse ensuite le soin de définir l'objet infini...
De toute façon, nous avons actuellement des ambigüités avec zéro, pourtant un nombre réel dont les opérations sont bien répertoriées. Par exemple :
1) 1 x 0 = 0 ; donc, 1 = 0 / 0
2) 5 x 0 = 0 ; donc, 5 = 0 / 0
3) Par conséquent, 0 / 0 = 1 = 5. Donc, 1 = 5 !
Tu reconnaitras que ce n'est pas beaucoup plus logique que mes équivalences ! :)o
Par ailleurs, ces équivalences sont très cohérentes, notamment si l'on suit les diagonales NO-SE de mes tableaux. Mais je vais donner ici quelques précisions, en rappelant mes conventions : NR = nombre réel ; SF = sans fin (infini).
A) 0 / 0 = 1 -- C'est une suite logique de la progression des numérateurs et dénominateurs vers zéro : 5 / 5 ; puis 1 / 1 ; puis 0,5 / 0,5 ; puis 0,1 / 0,1... Dans tous les cas, le quotient est 1 ! Et en inversant cette progression vers l'infini, il est aussi logique de penser que SF / SF = 1 !
NR / 0 = SF -- Plus le dénominateur tend vers zéro, plus le quotient tend vers l'infini. Ainsi, 6 / 3 = 2 ; puis 6 / 2 = 3 ; puis 6 / 1 = 6 ; puis 6 / 0,5 = 12 ; puis 6 / 0,1 = 60... Au bout du compte, on peut donc penser que 6 / 0 = infini !
C) NR / SF = 0 -- Plus le dénominateur s'élève, plus le quotient tend vers zéro. Ainsi, 6 / 6 = 1 ; puis 6 / 12 = 0,5 ; puis 6 / 60 = 0,1... À l'issue de ce processus, 6 / infini = 0 !skyffer3 a écrit:Qu'est ce que la démographie mathématique ?
La démographie mathématique est l'étude statistique des populations : rapports entre les taux et quotients, reproductions brute et nette... On pense notamment aux diagrammes de Lexis et aux populations stables de Lotka. Je précise par ailleurs que la population est prise ici dans un sens très large : ensemble d'éléments soumis à un processus de renouvèlement.jacquot a écrit:Dans quelle catégorie ranges-tu 1/3 et √2 ?
Élémentaire, mon cher Watson ! 1/3 est un nombre rationnel, √2 un nombre irrationnel. Et l'un et l'autre sont bien sûr des nombres réels. Il en faut quand même un peu plus pour me piéger...
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Ne forçons point notre talent,
nous ne ferions rien avec grâce. -
Je ne cherche pas à te piéger, juste à remarquer qu'il existe des nombres réels qui ne sont pas décimaux...
dans le but de préciser ta question et de te répondre éventuellement.
Qu'appelles-tu nombre sans fin?
S'agit-il de nombres tels que $\dfrac 1 7$ du fait que leur développement décimal est illimité? $\dfrac 1 7 = 0,142857\underline {142857}...$
Amicalement. jacquot -
bonjour Spalding
bienvenue sur le forum
(je constate que dans l'album de tintin tu es plus attiré par le majordome anglais que par le milliardaire portugais)
à propos de démographie mathématique il s'agit de l'étude des populations avec utilisation des outils mathématiques
(équations récurrentes, taux instantané d'accroissement, limites)
tu parles d'introduction du zéro et l'infini dans les opérations arithmétiques,
en fait tu opères une incursion brutale dans le domaine de l'analyse
en particulier dans l'étude des formes indéterminées c'est-à-dire
$0\times\infty$; $\frac{\infty}{\infty}$ ; $\frac{0}{0}$ et enfin $\infty - \infty$
je te signale les erreurs commises ou imprécisions rencontrées:
additions: tout juste!
multiplications: $0\times SF$ est en fait une forme indéterminée (de même $SF\times 0$)
(il faut un petit travail analytique qui consiste à lever l'indétermination pour pouvoir conclure)
$SF\times NR = SF$ oui dans le cas où le nombre réel est positif sinon l'infini change de signe, il en est de même pour $NR\times SF$
soustractions: $SF - SF$ est en fait une forme indéterminée
là aussi tu devras lever l'indétermination pour pouvoir conclure (avec pour résultat une limite finie ou infinie)
divisions: $\frac{0}{0}$ est une forme indéterminée (tu devras là aussi lever l'indétermination)
il en est de même pour $\frac{\infty}{\infty}$
cordialement
[Edit: \times pour la multiplication, voir code Latex]] -
jean lismonde a écrit:Bonjour Spalding
bienvenue sur le forum
(je constate que dans l'album de Tintin tu es plus attiré par le majordome anglais que par le milliardaire portugais)
Je vois que tu connais tes classiques, ici ''Vol 714 pour Sydney'' ! Spalding est mon pseudonyme sur le forum Tintin. Je n'ai pas cru nécessaire d'en changer. Cet Anglais distingué et froid doit être très à l'aise en mathématiques !jean lismonde a écrit:additions: tout juste!
J'en prends acte !jean lismonde a écrit:multiplications: 0 x SF est en fait une forme indéterminée (de même SF x 0)
(il faut un petit travail analytique qui consiste à lever l'indétermination pour pouvoir conclure)
Si 0 x NR = 0, quelle que soit la valeur de NR (nombre réel), on peut supposer qu'il en va de même pour 0 x SF (infini).jean lismonde a écrit:SF x NR : oui dans le cas où le nombre réel est positif, sinon l'infini change de signe. Il en est de même pour NR x SF
D'accord !jean lismonde a écrit:soustractions: SF - SF est en fait une forme indéterminée
là aussi tu devras lever l'indétermination pour pouvoir conclure (avec pour résultat une limite finie ou infinie)
Enlever l'infini à l'infini me parait logiquement appeler zéro !jean lismonde a écrit:divisions : 0 / 0 est une forme indéterminée (tu devras là aussi lever l'indétermination)
il en est de même pour SF / SF
Si les numérateurs et dénominateurs sont toujours identiques et de même signe (positif ou négatif), le quotient est toujours 1. On peut donc penser qu'il en va de même pour 0 (zéro) et SF (infini).
Cela dit, je reconnais qu'il vaudrait mieux définir mathématiquement les objets d'analyse, pas seulement prolonger des tendances. C'est le but de ma réponse à Jacquot (ci-après)...
@ Jacquot
Effectivement, les nombres réels ne sont pas forcément décimaux : 7,5... Ils peuvent être aussi entiers, comme 7.
Ta question sur les nombres sans fin est fondamentale. Mais j'ai des difficultés à définir l'objet infini, étant passablement ignare en mathématiques comme déjà dit. Jusqu'à nouvel ordre, je fonctionne par intuitions dans ce domaine ! Cela dit, le rôle de l'intuition est maintenant reconnu en maths !
Je vous fais donc confiance pour définir mathématiquement l'objet infini. Il faudrait probablement envisager la théorie des ensembles. Le nombre sans fin n'est pas en tout cas une suite décimale illimitée. Ou plutôt, c'est une suite infinie de nombres réels, quel que soit leur développement décimal. Dans cette suite infinie, un nombre réel suppose toujours un autre nombre réel dont la valeur est supérieure. Il n'est pas nécessaire par ailleurs que ces nombres se succèdent en suivant un ordre logique, susceptible d'être modélisé par une équation : 0,333... ; 0,666... ; 4,281 ; 179 ; 67924,2 ; etc, etc.
Supposons que l'univers soit illimité, donc susceptible de contenir un nombre infini d'éléments. Cela ne veut pas dire pour autant que cela soit forcément le cas pour les éléments d'une certaine catégorie. Cela pourra être 0 élément, un seul ou plusieurs, une infinité...
Si les éléments sont en nombre infini dans cet ensemble illimité, il peut lui-même contenir des sous-ensembles également illimités. Et ceux-ci contiendront éventuellement eux aussi un nombre infini d'éléments.
Par exemple, les nombres entiers inférieurs à 5 sont au nombre de 5 : 0, 1, 2, 3 et 4. Le nombre des nombres entiers est par contre infini. Ces nombres peuvent être répartis en nombres pairs et impairs, en nombre infini aussi pour chacune de ces catégories.
Un ensemble illimité contiendra donc éventuellement un nombre infini d'éléments appartenant à une certaine catégorie, ici les nombres entiers. Mais cet ensemble contiendra aussi deux sous-ensembles illimités, avec des nombres pairs et impairs aussi en nombre infini.
Ensemble des nombres entiers = NE --- Ensemble des nombres pairs = NP --- Ensemble des nombres impairs = NI
NP et NI sont ici des sous-ensembles de NE, mais chacun contient pourtant le même nombre d'éléments, ici infini ! Avec un nombre fini, ce serait par contre impossible : jusqu'à 9, il y a par exemple 10 nombres entiers, mais 5 pairs (0, 2, 4, 6, 8) et 5 impairs (1, 3, 5, 7, 9).
Avec l'infini, un ensemble/sous-ensemble et leurs nombres respectifs d'éléments ne sont donc plus nécessairement corrélés. C'est une propriété originale de l'infini, d'où mon équivalence : SF / NR = SF. Par exemple, un nombre infini de nombres entiers (SF) divisé par 2 (NR = pairs, impairs) aura aussi pour quotient l'infini !
Dans mes équivalences précédentes, vous voyez donc que je n'envisage pas la théorie des ensembles (et sous-ensembles), mais leurs nombres d'éléments. Et ces équivalences sont tout à fait défendables.
Cela dit, il est certain que l'infini possède des propriétés très spéciales, mais aussi le zéro :
A) 1 x 0 = 0 ; donc, 1= 0 / 0
5 x 0 = 0 ; donc, 5 = 0 / 0
--- Conséquence : 0 / 0 = 1 = 5 ! 1 x infini = infini ; donc, 1 = infini / infini
5 x infini = infini ; donc, 5 = infini / infini
--- Conséquence : infini / infini = 1 = 5 !
C) En dehors de zéro et l'infini, ces équivalences sont par contre impossibles :
--- 1 x 1 = 1 ; donc, 1 = 1 / 1
5 x 1 = 5 ; donc, 5 = 5 / 1
Vous pouvez constater ici que 1 / 1 n'est pas égal à 5 / 1. Par conséquent, 1 n'est pas égal à 5 !
Que faire alors ? On peut admettre que le zéro et l'infini possèdent des propriétés très spéciales. Quand on les introduit dans les calculs, des équivalences inhabituelles s'établissent entre des nombres comme 1 et 5. Leurs définitions changent, donc on ne parle plus de la même chose !
Par conséquent, je propose que l'on distingue nettement deux branches de l'arithmétique :
A) Les opérations avec les nombres réels classiques, en dehors de zéro et l'infini : - 4965 ; - 3,33... ; - 2 ; - 0,28 ; 1,66... ; 3,42 ; 5976 ; etc. Dans ces opérations, les nombres réels ont des valeurs différentes : 1 n'est pas égal à 5 ! Les opérations avec le zéro et l'infini. Ces opérations supposent en effet que les nombres réels intermédiaires possèdent la même valeur. J'en ai donné un exemple, avec 1 égale 5. Les définitions de ces nombres réels n'étant plus les mêmes qu'en A, c'est une autre discipline !
Cela dit, ces nombres intermédiaires possèdent en B la même valeur, mais c'est aussi le cas du zéro et de l'infini. Par exemple, 0 x 0 = 0 ; donc 0 = 0 / 0
SF (infini) x 0 =0 ; donc, SF = 0 / 0.
Par conséquent, 0 / 0 = 0 = SF (infini). Donc, 0 égale l'infini, égale aussi n'importe quel nombre réel intermédiaire comme 1 et 5 !
Si tous les nombres deviennent identiques avec zéro et l'infini, y compris eux-mêmes, comment peut-on encore parler d'arithmétique ? Le zéro et l'infini n'en restent pas moins des notions utiles, mais il faudrait sans doute les exclure une bonne fois pour toutes des opérations arithmétiques. Prenons le cas de zéro. Dans l'histoire des systèmes de numération, zéro n'a pendant longtemps pas été considéré comme un nombre : c'était ''rien''. On a introduit ensuite 0 pour la numération décimale. Ce fut incontestablement utile, mais l'erreur fut sans doute de l'utiliser ensuite dans les opérations arithmétiques. Et bien sûr, on peut en dire autant pour l'infini. Je renvoie à ''Histoire universelle des chiffres'', par Georges IFRAH (éditions Laffont).
Votre opinion ? 8-) -
@jean lismonde :
Je ne pense pas qu'il aborde ce thème dans le cadre de l'analyse et des limites, mais dans le cadre des "calculs arithmétiques".
En ce sens je dirais qu'il n'y a pas de questions sur la justesse ou non de ce que Spalding a écrit. Mon premier post visait justement à faire comprendre qu'on peut définir ce qu'on veut tant qu'on démontre tout ce qu'on veut pouvoir faire avec ce nouvel objet.
Ma question est donc simple, et a pour but d'aider Spalding à y voir plus clair. Lorsque je définis i² = -1 je peux définir les nombres complexes et j'en trouve beaucoup d'utilités. Avec tes définitions de nombre SF (que j'appelle infini), qu'arrives-tu à faire de nouveau, à quoi ça te sert ? Peux-tu démontrer de nouveaux théorèmes intéressants avec, peux-tu démontrer d'anciens théorèmes de manière élégante avec ?
Par ailleurs, juste pour compléter le post de jean lismonde en lien avec ce que Spalding a écrit :
Certes 1/1 = 1, 0.5/0.5 = 1, 0.1/0.1 = 1, 0.001/0.001 = 1 et on fait tendre les deux vers 0 donc tu affirmes que 0/0 = 1. Ce n'est pas une démonstration, c'est une nouvelle définition où tu étends la division à 0. Comme je l'ai déjà montré, cette nouvelle définition perd toutes les propriétés usuelles de la division. D'autre part, tu peux voir que 2/1 = 2, 1/0.5 = 2, 0.2/0.1 = 2, 0.002/0.001 = 2, ... et pourtant le numérateur et le dénominateur tendent bien tous les deux vers 0.
Je te conseille tout de même de répondre d'abord mon avant-dernier paragraphe -
EDIT : pas le temps de lire maintenant tout ce que tu viens d'écrire Spalding :-(, j'essayerais peut-être plus tard.
Mais juste pour dire que :Spalding a écrit:
J'en prends acte !jean lismonde a écrit:additions: tout juste!
C'est vrai et faux. Comme je l'ai dit dans mon post précédent, jean lismonde se place dans le cadre des formes indéterminées et des opérations sur les limites. Ce n'est pas ton cas (même si ce que tu tentes de faire y est indéniablement lié). Il n'y a donc pas de justesse ou non. Tu poses ce que tu veux comme définition, il faut juste comprendre que plus aucune propriété usuelle des opérations arithmétiques élémentaires ne reste valable (voir mon premier post), ce qui fait que cette définition ne sert peut-être pas à grand chose (voir la question de mon second post). -
Sur le problème des définitions, l'intérêt même du zéro et de l'infini en arithmétique, je ne peux que renvoyer à la fin de mon précédent message !
-
Alors je le lirai avec intérêt. Mais pense à répondre à cette question (en survolant ton message je ne crois pas que tu y aies répondu mais je le lirai en détails plus tard), que peux-tu démontrer de nouveau ou d'intéressant grâce à cette nouvelle "théorie" sur les nombres SF ?
Lorsqu'on a introduit le 0 ou le nombre complexe i c'était (au départ !) pour résoudre des équations qu'on ne pouvait pas résoudre auparavant mais qui s'exprimaient sans ces nombres.
Exemples :
5 + x = 3 qui s'exprime avec des entiers > 0 mais on a besoin du 0 et des entiers relatifs pour tenter de trouver des solutions.
x² + 1 = 0 qui s'exprime avec des nombres réels mais on a besoin des nombres complexes pour trouver des solutions.
Attention, ça ne veut pas dire que dès qu'une équation n'a pas de solution on définit de nouveaux nombres pour en donner, il faut que ces nouveaux nombres possèdent des propriétés agréables, c'est par exemple le cas des nombres complexes qui forment un corps et qui sont en plus la clôture algébrique du corps des réels.
Edit : maintenant il faut que je bosse (:D -
Quelques précisions, Spalding, avant de revenir à ton algèbre.
7 est un nombre décimal, de même que tous les entiers sont des nombres décimaux
7,5 est décimal, d'accord.
En revanche, $\dfrac 1 3$ n'est pas décimal puisqu'il ne peut pas sécrire de façon exacte avec un développement décimal fini.
Parlons un peu des infinis, tes SF.
Lorsque j'utilisais les notations en intervalles, pour désigner des parties de l'ensemble des nombres réels telles que$ [0 ; 1[ = \{ x\in \R ;\ 0\leqslant x <1\}$
ou $]2 ; +\infty[=\{ x\in \R ;\ x>2\}$, il y avait toujours un élève pour demander pourquoi les infinis sont toujours exclus, en d'autres termes, pourquoi $\R=]-\infty ; +\infty[$ et non pas $\R=[-\infty ; +\infty]$
Eh bien ma réponse était d'ordre algébrique, à l'instar de ce que skiffer3 essaye de t'expliquer:
Si l'on étend l'ensemble des nombres réels aux infinis, cet ensemble perdra sa structure algébrique de corps: on ne pourra pas définir de façon cohérente des opérations telles que $0\times (+\infty)$.
Remarque: zéro fait déjà figure d'exception dans l'ensemble des réels du fait qu'il n'a pas d'inverse: $\frac 3 0$ n'existe pas ou encore $\frac 3 0\notin \R$
Historiquement, les mathématiciens n'ont pas manqué de transgresser de tels interdits: par exemple $\sqrt{-1}\notin \R$: il n'existe pas de nombre réel $x$ tel que $x\times x = -1$
Qu'à cela ne tienne ils ont défini un nombre $i$ tel que $i^2=-1$, puis ils ont considéré un nouvel ensemble de nombres $\C=\{ a+ib\} _{(a;b)\in \R^2}$
Mais avec cette extension, ils pouvaient définir les 4 opérations tout en conservant la structure de corps pour $\C$
Tandis qu'avec les infinis, ça cloche.
Amicalement. jacquot -
jacquot a écrit:7 est un nombre décimal, de même que tous les entiers sont des nombres décimaux
7,5 est décimal, d'accord.
En revanche, 1 / 3 n'est pas décimal puisqu'il ne peut pas s'écrire de façon exacte avec un développement décimal fini.
Il est en effet important de s'entendre sur les termes. S'agissant de l'arithmétique, voici ce que dit ma petite encyclopédie. Tu me corrigeras éventuellement là-dessus. On distingue successivement :
1) Les nombres entiers, de 0 à l'infini : 0, 1, 2, 3, etc. : suite discrète, non continue.
2) Les entiers relatifs, faisant intervenir les valeurs négatives et positives : ..., - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, ... Le signe + est en fait superflu. On peut alors considérer qu'il existe deux infinis : l'un négatif, l'autre positif.
3) Les nombres rationnels, constitués par les quotients de deux entiers relatifs. Ce quotient comporte en effet toujours des décimales, même si celles-ci peuvent se résumer à une suite illimitée de zéros (non indiqués). Dans tous les cas, ces décimales se succèdent selon un ordre prévisible : 2 / 2 = 1,000... ; 4 / 3 = 1,333... ; 5 / 7 = 0,714 285 714 285...
4) Les nombres irrationnels, ne pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction. Leur développement décimal est illimité et imprévisible : pi = 3,141 59... ; √2 = 1,414 213...
5) Les nombres rationnels et irrationnels constituent les nombres réels.
6) Les nombres complexes complètent les nombres réels : i2 = - 1... Ils permettent notamment de résoudre les équations polynomiales à coefficients réels. Là, cela me dépasse !
Par ailleurs, si je te comprends bien, l'extension des nombres réels aux infinis affecterait la cohérence des opérations algébriques. Le nombre zéro constituant déjà un cas particulier, inutile d'en rajouter !
Cela me parait assez plausible, vu les perturbations causées par le zéro et l'infini dans la distinction des nombres réels. Je l'ai déjà constaté. C'est d'autant plus significatif que je n'avais pas de présupposés au départ ! Le zéro et l'infini sont bien sûr des notions très intéressantes, mais peu opératoires en arithmétique. Il faudrait peut-être considérer les théories sur l'évolution de l'univers, la logique ou même la métaphysique !
Je n'ai pas sinon les connaissances suffisantes pour poursuivre actuellement cette discussion. Merci en tout cas pour toutes ces explications ! Une petite question : le zéro et l'infini sont-ils envisagés par d'autres branches des mathématiques que l'arithmétique ? -
Bonjour.
petit correctif :
Remplacer ordre prévisible par développement périodique, et imprévisible par non périodique. Les décimales de 1,1010010001000010.... sont toutes très prévisibles, mais ce n'est pas un rationnel.selon un ordre prévisible : 2 / 2 = 1,000... ; 4 / 3 = 1,333... ; 5 / 7 = 0,714 285 714 285...
4) Les nombres irrationnels, ne pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction. Leur développement décimal est illimité et imprévisible : pi = 3,141 59... ; √2 = 1, 414 213...
Cordialement. -
Effectivement, mon encyclopédie indique bien "périodique" et "non périodique", pas "prévisible" et "imprévisible". Cela dit, j'ai du mal à concevoir qu'un développement non périodique soit prévisible. On ne peut connaitre par exemple actuellement les décimales du nombre pi que jusqu'à un certain point, même si on en découvre toujours.
Sinon, je répète ma question : le zéro et l'infini sont-ils envisagés par d'autres branches des mathématiques que l'arithmétique ?;) -
Un développement non périodique prévisible :
0,123456789101112131415161718192021... -
Cette réponse l'était.... ([small]prévisible !;)[/small] )
-
@ Félix
Là, je ne vois vraiment pas en quoi ce développement non périodique est prévisible.
Si tu veux m'expliquer ? 8-) -
Il existe des formules qui donnent la n-ième décimale de pi. Par ailleurs le nombre que gerard0 t'a indiqué a des décimales parfaitement prévisibles (si tant est que prévisible a un sens en mathématiques), regarde le attentivement.
Évidemment le zéro et l'infini sont abordés dans d'autres branches que l'arithmétique. D'ailleurs je le répète, mais l'infini n'est PAS abordé en arithmétique, du moins pas de la façon dont tu le vois, pour les raisons algébriques exposés par moi et jacquot.
Tu as eu un aperçu de l'infini par jean lismonde avec les limites, c'est-à-dire en analyse réelle. Le 0 est abordé en théorie des groupes aussi en quelque sorte.
Par ailleurs je cite de mémoire (donc je ne vais pas mettre de guillemets) Roger Godement qui cite lui-même Hardy il me semble :
en mathématiques l'infini n'a d'autre sens que celui qu'on lui donne dans un contexte précis.
En clair tu peux appeler l'infini éléphant rose si tu veux, ça ne changera rien. Le reste c'est de la philosophie, de la métamathématique, ou encore de la métaphysique.
Il n'y a pas un infini en mathématiques. Il y a des définitions très précises où l'infini appraît dans un certain contexte, par exemple lorsqu'on dit qu'une suite diverge vers l'infini. Il y une autre définition qui explique ce qu'est un ensemble infini. Ce n'est pas le même infini, et tu pourrais changer infini par éléphant rose et définir ce qu'est une suite qui diverge vers l'éléphant rose. L'infini n'est pas un concept, il a une définition précise dans un contexte précis. -
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ...
On peut aussi le faire avec les pairs, les impairs, les carrés, cubes, etc, en bases 2, 3, 8... -
@ Skyffer
Je ne vais pas me casser la tête sur la suite décimale de Gérard. Pas assez masochiste pour cela ! Mais si on peut la décrypter ou la prévoir, c'est qu'elle possède une certaine périodicité, traduisible par une formule mathématique.
Merci sinon pour ces renseignements sur l'utilisation du zéro et de l'infini en mathématiques !-D -
Périodique, de période u = qui se répète à l'identique tous les u (ici) chiffres.
Ce n'est pas le cas de la proposition de Gérard, ni de la mienne (classique) -
Il n'y a pas besoin d'être masochiste pour regarder les décimales et voir qu'il y un 1 suivi d'un 0 puis un 1 suivi de 2 zéros, puis un 1 suivi de trois zéros, puis un 1 suivi de ...Spalding a écrit:Je ne vais pas me casser la tête sur la suite décimale de Gérard. Pas assez masochiste pour cela !
Prétendre inventer un "calcul" et considérer que cette expression est compliquée est assez peu sérieux. -
@ Félix
Pour moi, "périodique" implique une suite dont la progression suit une formule mathématique. Les chiffres en question ne se reproduisent donc pas automatiquement par groupes de même longueur.
Mais c'est une question de définition. On ne va pas polémiquer là-dessus. L'important est de savoir de quoi on parle... -
Le jeu des mathématiques, c'est de donner des définitions et d'appliquer des raisonnements.
Un intervenant t'a dit que tu créais des définitions (non conventionnelles) et t'a dit que c'était parfaitement légitime, mais que ça supposait tout de même qu'il y ait un certain intérêt derrière.
Si maintenant tu décides que certains mots, utilisés depuis plusieurs siècles, ont une signification autre que la traditionnelle, libre à toi, mais je crains que beaucoup ne jouent plus longtemps avec toi.
Bonne soirée. -
@Spalding :
Tu remarqueras tout de même que Felix a donné une définition de périodique et toi non.
Tu dis :Spalding a écrit:Mais c'est une question de définition. On ne va pas polémiquer là-dessus. L'important est de savoir de quoi on parle..
Mais tu n'as donné aucune définition, ça veut dire quoi une suite dont la progression suit une formule mathématique ? C'est comme avec l'infini, il faut se mettre d'accord sur une définition dans un contexte précis comme je disais, mais une définition mathématique ! -
Il y a des disciplines où jouer avec les mots est admis. C'est même une source de pouvoir sur les autres dans certains cas. Ou un moyen de ne pas être contestable.
Ici, c'est un forum de maths, si on change le sens des mots qu'utilisent les autres, on triche ! Si on ne connaît pas le sens des mots on se renseigne.
Le mot périodique fait partie de la formation mathématique des lycéens, sauf les littéraires. Donc sans polémique, ne pas connaître ça et prétendre inventer des "calculs" est non seulement peu sérieux, mais aussi absurdement prétentieux.
Je laisse tomber ce fil qui n'a pas sa place en arithmétique, ni même dans aucun des forums mathématiques. Seulement dans le forum "fantaisies". -
Même si tu as raison dans le fond gerard0, tâchons de ne pas être trop brutal, c'est son premier post sur ce forum.
Par ailleurs il ne m'a pas semblé prétentieux, il n'a pas cherché à utiliser ses calculs pour démontrer Goldbach en 10 lignes contrairement à d'autres personnes sur ce forum ... Il cherche juste à se renseigner sur l'infini sans comprendre qu'en mathématiques il n'a que le sens qu'on lui donne par une définition, et que les propriétés qu'on démontre à partir de cette définition.
Il est juste ignorant (et ce n'est pas grave, on ignore tous plein de choses dans plein de domaines) du fonctionnement des mathématiques :
- poser des définitions
- démontrer des propriétés sur ces définitions et en déduire de nouveaux théorèmes
Je pense que nos interventions lui auront permis d'y voir plus clair sur la démarche -
Je vous trouve bien susceptible (Gérard) ou condescendant (Skyffer). Il ne faut pas non plus trop vous gonfler sur ce forum et vous prendre pour Einstein. Cela devient comique ! Vous savez très bien qu'un mot peut prendre diverses acceptions, ces acceptions évoluant par ailleurs. J'ai avancé ma définition de "périodique", tout à fait compréhensible pour une intelligence normale. Vous avez la vôtre. Fort bien ! J'ai donc raison d'un certain point de vue, et vous avez raison d'un autre point de vue. Quel est le problème ? Un peu de souplesse, que diable... Ce n'est pas un match de boxe !
Par ailleurs, je n'ai jamais prétendu révolutionner la théorie du zéro ou de l'infini ! J'ai simplement apporté les résultats d'une réflexion personnelle. Elle n'a pas été inutile, ayant permis de constater les impasses du zéro et de l'infini en arithmétique. Je l'ai d'ailleurs moi-même établi à partir de mes équivalences.
Pour conclure, un peu de détente, d'humour et de bonne humeur, chers messieurs. Je ne m'attarderai sinon pas trop sur ce forum. Maintenant, je comprends très bien que vous vous en contrefichez. Et moi aussi, cela ne m'empêchera pas de dormir ! -
Spalding : formule pour Gérard : $10^{-1}+10^{-3}+10^{-6}...+10^{-un}+10^{-u_{n+1}}+...$ avec $u_1=1$ et $u_{n+1}=u_n+n+1$ exemple : $3=1+2$ et $6=3+3$ et $10=6+4$, tu vois qu'il y a une formule ! Et pour l'autre nombre (il est appelé nombre de Champernowne) $0.123...u_nu_{n+1}...$ et $u_n=n$ (n est un nombre, non un chiffre), tu vois qu'il y a une formule ! Tous les deux sont donc prévisibles (selon toi), mais aucun des deux n'est rationnel !
-
À partir du moment où il y a une formule, c'est rationnel, prévisible et rassurant. Et cela implique aussi une périodicité, même si elle n'est pas immédiatement décelable.
Merci, cher Henri, de jouer aussi obligeamment le rôle du sauveur ! -
Périodique : qui revient, qui se reproduit à intervalles fixes. (Petit Larousse)
Pourquoi t'obstines-tu à employer ce terme à tort et à travers ? -
Bonjour,
Le développement périodique illimité de $\pi$ est tout à fait prévisible, puisqu'on dispose d'algorithmes pour en calculer les décimales successives.
Après, c'est juste la puissance des ordinateurs qui limite nos recherches... mais c'est un autre problème...
Bien cordialement,
Christian -
Ga? a écrit:Périodique : qui revient, qui se reproduit à intervalles fixes. (Petit Larousse)
Pourquoi t'obstines-tu à employer ce terme à tort et à travers ?
Quand on lit une définition, il faut tout lire ! J'ai moi aussi le Larousse, et il est précisé qu'une évolution périodique est cyclique. Cela ne signifie pas pour autant que les intervalles soient toujours identiques et fixes. Par exemple, un même évènement peut se reproduire toutes les semaines. Mais la première semaine, ce sera lundi, la deuxième dimanche, la troisième lundi, la quatrième dimanche, et ainsi de suite... Nous aurons alors alternativement des intervalles de 13 jours et de 1 jour. C'est régulier, donc cyclique et périodique, le cycle ou la période fixes couvrant alors deux semaines. Et encore, je donne un exemple très simple ! Dans tous les cas, le cycle doit pouvoir se traduire par une fonction mathématique. Pour élargir le sujet, ce n'est pas le cas pour la succession des nombres premiers. Celle-ci n'est donc pas cyclique ni périodique, du moins jusqu'à nouvel ordre. Il vaudrait mieux par ailleurs réserver le terme "périodique" aux évolutions temporelles.
Mes amis Gérard et Félix peuvent ici constater que cette définition du terme "périodique" est tout à fait cohérente, en accord par ailleurs avec le Larousse, notre référence à tous. Ils avaient bien tort de s'énerver !
Par ailleurs, mon autre ami Skyffer (je n'ai que des amis sur ce forum) insiste à juste titre sur la nécessité de bien définir les objets d'analyse. En ce sens, l'introduction de l'infini dans les opérations arithmétiques n'aboutit pas à des résultats cohérents. Je l'avais d'ailleurs remarqué avant même de lancer ce sujet. Un exemple très simple : 1 x infini = infini ; donc, 1 = infini / infini
5 x infini = infini ; donc, 5 = infini / infini
par conséquent, infini / infini = 1 = 5 ; donc, 1 = 5 !
Mais j'ai quand même posté ce sujet, ayant remarqué que c'était aussi le cas pour zéro : 1 x 0 = 0 ; donc, 1 = 0 / 0
5 x 0 = 0 ; donc, 5 = 0 / 0
par conséquent, 0 / 0 = 1 = 5 ; donc, 1 = 5 ! Et pourtant, zéro est couramment utilisé dans les opérations arithmétiques.
Je constate donc que ce critère de la définition est très fluctuant. On s'en sert pour écarter la prise en compte de l'infini dans les opérations arithmétiques. Mais par contre aucun problème avec zéro, aboutissant pourtant à des équivalences pour le moins surprenantes !
Dans ces conditions, autant reconnaitre que la définition n'a aucune importance en arithmétique, peut-être aussi pour les mathématiques en général. Le critère est alors purement utilitaire. Pour reprendre Jacquot, zéro est retenu car il a son utilité dans les opérations algébriques. Ce n'est pas le cas de l'infini, écarté par conséquent. Les définitions n'ont rien à voir là-dedans !
Pour conclure, je n'ai évidemment pas les connaissances de Skyffer en mathématiques, mais peut-être un peu plus de logique et de bon sens. Sur ce, bonne journée à tous : j'ai suffisamment rigolé sur ce forum ! -
Bonjour à tous,
Voilà au moins un humoriste.
- Périodique = revient à intervalles fixes.
- T'as pas tout lu, c'est (et suit un laïus où, au lieu d'ajouter une précision omise, il retranche au contraire le cœur de la déf, le "fixe").
Et, cerise sur le gâteau, nul besoin de définitions pour faire des maths ! -
Bonjour Spalding,
Dans les petites classes, on énonce souvent la règle absolue suivante :Institutrice a écrit:Il est interdit de diviser par zéro !
Ceci provient très justement des raisons que tu évoques : on aboutirait à des incohérences du style $1=5$. Le problème vient en fait du manque d'inversibilité de zéro. Voici une "définition" :
Un nombre\footnote{Je suis volontairement flou sur ce que j'appelle un nombre. Disons pour l'instant quelque chose qui se comporte vis à vis des opérations $+$ et $\times$ comme le font les réels. Ceux qui savent de quoi il s'agit pourront se placer dans un anneau commutatif unitaire.} $x$ est inversible s'il existe une autre nombre $y$ tel que $x \times y = 1$.
Une remarque importante à faire est que, s'il existe, un tel $y$ est unique (pourquoi ?).
On observe alors que zéro n'est pas inversible car le produit de zéro par n'importe quel nombre vaut zéro, donc ne peut jamais valoir 1. Pour l'infini que tu as construit survient le même problème, il n'est pas inversible : en effet le produit de NF par n'importe quoi ne peut jamais donner 1 (d'après tes tables).
La solution la plus raisonnable (pour éviter les incohérences) est donc de s'interdire de diviser par 0 et par NF.
~ -
Bonjour
c'est tout ce que tu as trouvé....comme absurdité ? 5*0 = 0....bla bla..par conséquent 0 = l'infini..
tu prends tes désirs pour des réalités...depuis quand 0+0+0+0+0 +l'infini....+ l'éléphant rose; donc =1 = 5
1 * cela n'a aucun sens = cela n'a aucun sens ...! sauf peut être dans ta philosophie...où on est capable de définir l'infini comme un objet....et faire prendre des vessies pour des lanternes..
Si c'est ce que tu appels avoir plus de bon sens et plus de logique, c'est l'hospice qui se fou de la charité, et il serait bon, que tu arrêtes de te regarder dans une glace..... -
Pour remettre un peu de "rigueur" dans tout cela, Spalding peut aller voir du côté des nombres surréels. Il y trouvera une construction d'"infiniment grands" et "d'infiniment petits" qui "vont de pair" (notez le flou artistique que je laisse).
Je conseille évidemment de passer par la nouvelle de D. Knuth* pour découvrir la construction de J. Conway.
* "Les Nombres Surréels, ou comment deux anciens étudiants découvrirent les mathématiques pures et vécurent heureux. Une romance mathématique de D. E. Knuth", Traduction : Daniel E. Loeb et Hélène Loeb. Disponible sur le site de Loria -
Siméon écrivait:$x$ est inversible s'il existe une autre nombre $y$
tel que $x \times y = 1$.
Une remarque importante à faire est que, s'il
existe, un tel $y$ est unique (pourquoi ?).
Bonjour,
On peut raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe deux inverses y et y' .... soit xy=1 et xy'=1 ; ensuite on soustrait membre à membre: xy-xy'=0 <-> x(y-y')=0 ...comme tu l'as dit 0 n'a pas d'inverse, donc on suppose x différent de 0, on obtient donc y-y'=0 <-> y=y'.
Donc si un nombre possède un inverse, alors il est unique. -
$\sqrt 2=\dfrac{\sqrt 2}{1}= \dfrac{2}{\sqrt 2}$
Sauf erreur, une formule qui donne la n-ième décimale de $\pi$:
Si $n>0$
$E(10^n\pi)-10E(10^{n-1}\pi)$ où E(x)=plus grand entier inférieur ou égal à $x$ -
Arrrggg je m'en veux terriblement. Je m'étais promis de ne plus répondre ici mais je craque, c'est plus fort que moi X:-(
Puissiez-vous me pardonner-D
Il m'a semblé avoir pourtant juste fait ce que j'ai pu pour t'apporter un éclairage personnel sur ta question. Quand je pense à la peine que j'ai pris pour te répondre, [small]sur mes heures de boulot par ailleurs[/small], car je trouvais justement tes questionnements très intéressants car au coeur même de l'activité mathématique selon moi ... j'en viendrais presque à le regretter. Tu auras au moins remarqué que je n'ai pas dévié du sujet alors que d'autres ont voulu t'interpeller sur ce que tu appelais un nombre réel, rationnel, irrationnel, sur la périodicité, ... ce qui n'était pas du tout ta question initiale. J'admets bien volontiers qu'il m'arrive malheureusement d'être condescendant, mais sur ce coup là je ne vois vraiment pas ce que j'ai fais :S Je laisse les autres en juger ...Spalding a écrit:Je vous trouve bien [...] condescendant (Skyffer). Il ne faut pas non plus trop vous gonfler sur ce forum et vous prendre pour Einstein. Cela devient comique !
Rassure-toi, mes connaissances en mathématiques sont bien faibles en comparaison de celles de beaucoup de personnes sur ce forum. Il n'y a aucune fausse modestie là-dedans, il te suffit de cliquer sur mon pseudo et de voir mes messages, et de regarder uniquement mes réponses aux questions mathématiques. Tu verras que je dépasse rarement les questions de niveau L1 ... Si tu as plus de bon sens et de logique que moi, je suis content pour toi (pas de quoi se vanter néanmoins, il ne me semble pas que je sois d'une intelligence extraordinaire), pourquoi le faire remarquer ? Cherches-tu simplement à m'abaisser ? Si mes réponses ne te conviennent pas ignore les juste, et dis moi clairement que tu ne veux plus que je réponde à tes questions sur les mathématiques. Je laisserai alors les autres intervenants t'embêter sur les définitions, car moi aussi je trouve tes réponses très comiques figure-toi (au moins tu n'es pas le seul à rigoler sur ce forumSpalding a écrit:Pour conclure, je n'ai évidemment pas les connaissances de Skyffer en mathématiques, mais peut-être un peu plus de logique et de bon sens.). Je suis sûrement trop orgueilleux pour supprimer mes anciennes interventions sur ton post, je les trouve intéressantes et dans le sujet.
Tout ça m'apprendra à participer à des sujets où j'ai cru honnêtement que l'auteur cherchait à mieux comprendre les choses. Peut-être que gerard0 avait raison, il ne s'agit peut-être que d'un troll. J'ai pensé au début que tu avais simplement mal pris ma remarque suivante :
Où pourtant je dis bien qu'on ignore tous plein de choses (je n'ai rien rajouté par la suite, ce message n'a subi aucune modification).skyffer3 a écrit:Il est juste ignorant (et ce n'est pas grave, on ignore tous plein de choses dans plein de domaines) du fonctionnement des mathématiques
Mais la suite de tes interventions m'incite à penser que soit tu manques d'ouverture d'esprit, soit simplement que tu ouvres un troll sur les définitions mathématiques.
J'aime beaucoup les trolls
En revanche j'aime moins qu'on dise que je me prends pour Einstein (un kholleur m'a une fois comparé à Fermat, rassurez-vous ce n'était pas un compliment dans sa bouche, rapport à sa soi-disant démonstration du GTF, mais moi je l'avais très bien pris vu le niveau du kholleur ...).
Je casse donc ma promesse (faite à moi-même), je continuerai à répondre à tes messages, mais rassure-toi, ce ne sera plus pour te donner des réponses sur les mathématiques, mais juste parce qu'il n'y a pas de raison que les autres et toi-même puissiez rigoler et pas moi (:P) non mais -
[size=x-large]1) Introduction de l'infini en arithmétique[/size]
J'ai lu vos derniers messages et n'ai pas de commentaires particuliers à faire. Sur la définition de la périodicité, je pense avoir été assez clair et je ne me répèterai pas : la périodicité est cyclique. Elle n'implique pas forcément des intervalles fixes, même si les périodes sont fixes. J'en ai donné un exemple. S'agissant de Skyffer, je regrette d'avoir mal interprété certains de ses messages et d'avoir été désagréable. Mais il faut dire que je n'ai pas été ménagé par certains participants, parfois excessifs (Skyffer exclu). Cela finit par déclencher des réactions épidermiques tous azimuts. Enfin, on n'est quand même pas allé jusqu'à la bagarre générale ! Personne ou presque ne se connaissant de toute façon sur ce forum, inutile de trop personnaliser les débats. Quelqu'un à priori très antipathique sur un forum peut vous apparaitre très sympathique après avoir pris un café avec lui. Et inversement bien sûr !
Ce sujet remporte sinon un grand succès, vu le nombre de messages et de visites. Il intéresse donc les participants, ce qui est déjà appréciable. Pour mon entrée sur ce forum, ce n'est pas si mal ! Par ailleurs, je pense que ce sujet pourrait tout aussi bien figurer dans la rubrique Logique, n'intéresse pas seulement la rubrique Arithmétique. Je fréquenterai d'ailleurs surtout cette rubrique Logique par la suite, ayant des livres dans ce domaine. Mes connaissances en mathématiques sont de toute façon assez limitées, comme je l'ai tout de suite reconnu. Cela ne signifie pas que tout ce que je dis est forcément inexact ou sans intérêt !
Pour en rester au présent sujet, j'ai testé la cohérence interne des équivalences de mon premier message. Cela m'a permis de me rendre compte que plusieurs n'étaient pas satisfaisantes. Je vais donc revoir l'ensemble de la question (ci-après). Skyffer sera par ailleurs satisfait de constater que j'ai beaucoup soigné mes définitions, comme il l'a conseillé. Difficile même d'être plus précis ! Vous me direz ensuite si vous êtes d'accord avec moi...
Ce message est le premier d'une petite série sur l'infini arithmétique. Il envisage les impasses occasionnées par l'introduction des nombres infinis dans les opérations arithmétiques. Pour l'établir, j'envisagerai toutefois surtout les additions. Mais voici d'abord mes conventions pour les nombres impliqués...
DÉFINITION DES NOMBRES ARITHMÉTIQUES
NUL = zéro, nombre réel dont la partie entière et les décimales (en nombre infini) sont également nulles : 0,000... C'est une quantité nulle, pas finie ou limitée. On peut y voir le néant.
FINI = nombre réel positif (hors zéro), n'importe lequel des nombres réels positifs (en nombre infini). Ce nombre Fini possède donc un sens générique. Dans mes équations, ce sera toujours le même nombre. Pour ne pas compliquer inutilement les équations, le nombre Fini est toujours positif (+). Si vous lisez – Fini, cela signifie donc – (+ Fini). Avec – (– Fini), il faudrait bien sûr lire Fini ou + Fini. Le nombre Fini est par définition supérieur au nombre Nul.
--- Les nombres réels forment une suite continue, avec des décimales en nombre infini (indiquées ou non). Les nombres entiers (sans décimale) forment par contre une suite discrète. Un nombre réel implique toujours une quantité finie ou limitée, bien que ses décimales sont infinies (zéro ou d'autres) : 0,333... (1/3) n'aboutira jamais à 0,340... ! Cela explique que le mathématicien Cantor ne reconnait pas l'infiniment petit comme un objet d'analyse. Contrairement à l'infiniment grand, l'infiniment petit n'est pour Cantor qu'un mode de variabilité. Dans le "paradoxe d'Achille et de la tortue", on s'explique ainsi mieux qu'Achille finit par rattraper la tortue : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d'Achille_et_de_la_tortue
INFINI = quantité illimitée, nombre supérieur à n'importe quel nombre nul ou fini : 0, 10, 100, 1.000, un million, un milliard... L'infini ne peut être saisi mentalement dans sa totalité. Comme pour le nombre Fini, son homologue Infini sera ici positif (pas négatif) : – Infini doit ainsi se lire – (+ Infini). Avec – (– Infini), ce serait bien sûr Infini ou + Infini. Je n'ai donc pas jugé utile de rajouter des équations. Vous ferez les transpositions nécessaires : (–) × (–) et (–) / (–) aboutissent par exemple à des résultats (+). C'est de l'arithmétique élémentaire !
--- Cette définition concerne l'infini actuel (réalisé) : par exemple, le nombre infini des entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, etcétéra). Mais on distingue aussi l'infini potentiel (à venir). Si vous épelez par exemple les entiers naturels, vous ne vous arrêterez jamais. Mais à chaque instant, le nombre des nombres épelés sera fini. Vous aurez ainsi épelé 1 nombre au nombre 0 (lui-même) ; 2 nombres au nombre 1 (0, 1) ; 3 nombres au nombre 2 (0, 1, 2) ; ainsi de suite...
Pour illustrer ces trois définitions, imaginez que vous partiez pour une randonnée. Avec un objectif distant d'un nombre Nul de kilomètres (0,000...), vous resterez sur place ! Si cet objectif est distant d'un nombre Fini de kilomètres, vous finirez par l'atteindre et donc par vous arrêter. Cela se produira mathématiquement toujours, même si la distance comporte un nombre infini de décimales finies (pas nulles) : par exemple 33,333... kilomètres (100/3). Avec un objectif indéfini, la distance à parcourir jusqu'à cet objectif devient par contre un nombre Infini de kilomètres. Vous n'atteindrez donc jamais l'objectif en question et ne vous arrêterez non plus jamais : toutes les distances finies seront atteintes et dépassées successivement ! Avec ce dernier exemple, nous voyons mieux que l'infini potentiel implique la dimension temporelle. Cet infini ne fait qu'exprimer l'infini actuel, concernant pour sa part la dimension spatiale. Un espace infini ne peut bien sûr être parcouru qu'en un temps infini !
NATURE DES ADDITIONS
Pour commencer, je vais prendre un exemple très concret. Imaginez que vous soyez l'agent recenseur chargé de recenser la population d'un certain village. Au bout de cette opération, vous établissez l'équation suivante pour la population en question : 100 femmes + 100 hommes = 200 femmes-hommes (personnes).
Qu'est-ce que cela veut dire ? Vous avez en fait réuni l'ensemble des femmes de ce village à l'ensemble des hommes du même village. Cette union provoque la création d'un nouvel ensemble, celui des femmes-hommes (remarquez le trait d'union) ou des personnes habitant le village. Bien entendu, ce nouvel ensemble comprend deux sous-ensembles : femmes d'un côté, hommes de l'autre. Il permet ainsi d'additionner les nombres de femmes et d'hommes.
La réunion de ces deux ensembles et l'addition de leurs éléments constitutifs ont bien sûr été facilitées mentalement par le fait que les femmes et les hommes possèdent manifestement un critère commun, au-delà de leurs traits distinctifs. Ce sont des personnes, relevant de l'espèce humaine. Cela dit, vous pouvez réunir des ensembles apparemment très disparates et additionner leurs éléments. Il vous suffit pour cela de leur trouver un critère commun, à votre convenance. Par exemple, 100 avions + 100 bananes = 200 avions-bananes. Comme critère commun, on peut imaginer ici que vous aimez les avions et les bananes, rien d'autre ! Cela dit, le critère en question est plutôt virtuel. On peut penser que vous cherchez simplement à produire un effet comique !
Dans tous les cas, une opération très simple comme l'addition suppose la réunion des ensembles concernés dans un nouvel ensemble. Ils deviennent alors sous-ensembles de cet ensemble plus global. Un ensemble (ou sous-ensemble) possède par ailleurs un espace intérieur, également une frontière extérieure continue si cet espace est fini. J'appelle ''contenant'' l'ensemble (ou sous-ensemble) et ''contenu" les éléments qui s'y trouvent ou pourraient s'y trouver (s'il n'y en a aucun).
Prenons une bouteille obturée : c'est un contenant fini, avec un espace intérieur et une frontière extérieure (paroi et bouchon). Et s'il s'y trouve 7,5 décilitres d'eau, nous avons le contenu de cette bouteille. Les 7,5 décilitres peuvent être alors considérés comme 7,5 éléments. Par rapport aux 100 femmes ou hommes du village (nombre entier), il s'agit toutefois ici d'un nombre réel avec un nombre infini de décimales : 7,500... Cela pourrait être aussi 7,000... avec 7 décilitres. Mais fondamentalement, rien n'est changé : les 100 femmes (ou hommes) du village et les 7,5 décilitres d'eau sont les éléments du contenu de leurs ensembles (ou sous-ensembles) respectifs. Ces ensembles (ou sous-ensembles) sont pour leur part des contenants.
L'INFINI DANS LES ADDITIONS
Je vais maintenant exposer 9 couples d'équations (sans inconnue) ou 9 équivalences logiques. Elles impliquent les nombres Nul, Fini et Infini d'éléments. J'ai déjà donné les définitions de ces nombres. Les équations originelles (additions) seront toujours à gauche, les équations résultantes (soustractions) à droite. Ces dernières sont destinées à vérifier la validité des premières. Je rappelle par ailleurs que les termes d'une addition (à gauche de l'égalité) peuvent commuter sans que leur somme soit modifiée. Cela explique que les équations originelles 2 et 4, 3 et 7, 6 et 8 sont en fait identiques.
1)
Nul + Nul = Nul
Nul = Nul – Nul
2)
Nul + Fini = Fini
Nul = Fini – Fini
3)
Nul + Infini = Infini
Nul = Infini – Infini
4)
Fini + Nul = Fini
Fini = Fini – Nul
5)
Fini + Fini = Fini × 2
Fini = (Fini × 2) – Fini
6)
Fini + Infini = Infini
Fini = Infini – Infini
7)
Infini + Nul = Infini
Infini = Infini – Nul
8)
Infini + Fini = Infini
Infini = Infini – Fini
9)
Infini + Infini = Infini
Infini = Infini – Infini
Remarquons d'abord que la présentation de l'équation originelle 5 laisse à désirer. En effet, le résultat indiqué (Fini × 2) ne fait que reproduire les termes initiaux de l'équation (Fini + Fini). C'est comme si j'écrivais : 8 + 8 = 8 × 2. Exact mais sans intérêt ! La somme de l'addition Fini + Fini requiert donc un nouveau nombre : Fini×2 (sans espaces). Nous le définirons comme le double du nombre Fini (déjà défini). Impossible d'être plus précis, ce nombre Fini pouvant être n'importe lequel des nombres réels positifs. Le résultat de l'équation ne comprendra en tout cas plus qu'un seul terme.
Au vu de cette série, les équations impliquant seulement les nombres Nul et Fini ne posent sinon aucun problème. Mais il n'en va pas de même pour celles avec le nombre Infini. Pour en rester à l'essentiel, en indiquant entre parenthèses les équations résultantes : Infini – Infini = Nul (3) = Fini (6) = Infini (9). Bref, les nombres Nul, Fini et Infini deviennent strictement identiques !
Ce résultat paradoxal peut toutefois s'expliquer, au vu des équivalences logiques. Considérons seulement ici les équations résultantes (à droite). Pour la résultante 3, un sous-ensemble d'éléments en nombre Infini a été enlevé à l'ensemble d'éléments, également en nombre Infini. Il reste alors l'autre sous-ensemble d'éléments en nombre Nul (à gauche de l'égalité). C'est la même chose pour la résultante 6, sauf qu'il reste ici un sous-ensemble d'éléments en nombre Fini. Idem avec la résultante 9, le sous-ensemble subsistant contenant alors un nombre Infini d'éléments. Dans tous les cas, ce sont des ensembles et sous-ensembles qui sont en jeu, autrement dit des contenants. Les contenus (nombre d'éléments) ne sont concernés que secondairement.
Très bien ! Mais les équations avec les nombres Nul et Fini impliquent aussi des ensembles et sous-ensembles. Cela a été vu plus haut : rubrique "Nature des additions". Comment expliquer alors que ces nombres (0, 100, 500...) ne se confondent jamais ? Cela n'arrive qu'avec l'introduction du nombre Infini...
Pour comprendre ce mystère, je reviens sur les ensembles et sous-ensembles impliqués par les additions. Avec les sous-ensembles d'éléments en nombre Nul et/ou Fini, la variation du nombre d'éléments relevant d'un sous-ensemble affecte instantanément le nombre d'éléments relevant de l'ensemble global. Posons par exemple 0 (sous-ensemble A) + 100 (sous-ensemble = 100 (ensemble global). Si le nombre d'éléments A passe de 0 à 100, le nombre d'éléments global passera de 100 à 200. Je suppose bien sûr ici que le nombre d'éléments B reste stable. S'il passait de 100 à 0, cela annulerait l'évolution constatée pour A.
Mais rien de tel ne se passe avec le nombre Infini ! Je pose par exemple au départ : 0 (sous-ensemble A) + infini (sous-ensemble = infini (ensemble global). Si vous faites varier le nombre d'éléments A de 0 à 100 ou même à l'infini, le nombre d'éléments global ne sera pas du tout affecté, restera toujours infini. En effet, un nombre Infini ne peut pas encore devenir plus grand !
Dans ces conditions, l'arithmétique éclate en deux branches complètement séparées :
A) L'une mettant en jeu seulement les nombres Nul et Fini. Et encore, il faudrait peut-être réserver le cas du nombre Nul (0). Ce nombre pose en effet des problèmes pour les multiplications et les divisions, comme il sera vu plus tard. L'autre supposant l'introduction du nombre Infini dans les opérations arithmétiques.
RECONSIDÉRATION DU PROBLÈME
Lorsqu'un logicien ou un mathématicien constate des incohérences dans les résultats obtenus, il peut soupçonner que les objets d'analyse ont été mal définis, en tout cas que leurs définitions ont été mal comprises. Ce serait ici le cas pour la définition du nombre Infini, donnée plus haut. Revoyons donc cette définition :
INFINI = quantité illimitée, nombre supérieur à n'importe quel nombre nul ou fini : 0, 10, 100, 1.000, un million, un milliard... L'infini ne peut être saisi mentalement dans sa totalité. Comme pour Fini, le nombre Infini sera ici positif (pas négatif).
Au vu de cette définition, le nombre Infini est bien entendu supérieur au nombre Nul. Mais il est aussi supérieur au nombre Fini (sens générique), donc à tous les nombres finis pris séparément. Mais cette définition n'implique pas que le nombre Infini soit égal à l'addition de lui-même et du nombre Fini, pas plus qu'à l'addition de deux nombres Infini.
Reprenons pour commencer l'équation originelle 7 (supra) : Infini + Nul = Infini. On peut alors comprendre que l'ajout du nombre Nul au nombre Infini ne change rien, pas plus d'ailleurs qu'au nombre Fini (équation 4). Alignons toujours le nombre Infini sur son homologue Fini. Dans l'équation 5, nous avons vu que Fini×2 (sans espaces) équivaut au double de (Fini + Fini). L'ajout du nombre Fini à son homologue Infini débouchera alors logiquement sur une somme supérieure au nombre Infini. Et par analogie avec l'équation 6, il en sera de même pour l'adjonction du nombre Infini à lui-même.
Nous définirons par conséquent deux nouveaux nombres infinis, notés respectivement : Infini+Fini, Infini×2 (sans espaces). Le nombre Infini+Fini est défini comme un nombre infini, résultant de l'addition du nombre Infini et du nombre Fini : supérieur bien sûr aux nombres Nul et Fini, mais aussi au nombre Infini. Ce nombre Infini+Fini est toutefois inférieur à son homologue Infini×2, le plus grand nombre à cette étape. Nous définissons bien entendu celui-ci comme le double du nombre Infini.
Mais il faut encore considérer que le nombre Fini ne possède qu'une valeur générique, selon la définition donnée plus haut. Il recouvre une infinité de nombres finis. Cela peut être aussi bien 0,333... que 7,420... ou encore 108.496,000... Et par ailleurs, si le nombre Infini peut être multiplié par un nombre fini (ici 2), pourquoi ne serait-ce pas le cas avec tous les nombres finis ? Et ne pourrait-on enfin multiplier le nombre Infini par lui-même, jusqu'à un nombre infini de fois ? Dans tous les cas, les nombres infinis deviennent infinis !
Voyons maintenant ce que donnent tous ces changements pour nos 9 équivalences déjà exposées :
1)
Nul + Nul = Nul
Nul = Nul – Nul
2)
Nul + Fini = Fini
Nul = Fini – Fini
3)
Nul + Infini = Infini
Nul = Infini – Infini
4)
Fini + Nul = Fini
Fini = Fini – Nul
5)
Fini + Fini = Fini×2
Fini = Fini×2 – Fini
6)
Fini + Infini = Infini+Fini
Fini = Infini+Fini – Infini
7)
Infini + Nul = Infini
Infini = Infini – Nul
8)
Infini + Fini = Infini+Fini
Infini = Infini+Fini – Fini
9)
Infini + Infini = Infini×2
Infini = Infini×2 – Infini
Aucun doute : le résultat est très amélioré par rapport à la série précédente ! Remarquons d'abord que l'équation originelle 5 ne comporte plus qu'un seul terme pour le résultat indiqué (suppression des espaces). Mais surtout, les nombres Nul, Fini et Infini ne fusionnent plus comme précédemment : équations résultantes 3, 6, 9. Toutes les incohérences sont supprimées d'un coup !
CONCLUSION PROVISOIRE
J'ai d'abord défini mes nombres Nul, Fini et Infini, puis précisé la nature des additions. Les nombres Nul, Fini et Infini ont été ensuite systématiquement additionnés entre eux, la cohérence de ces additions étant contrôlée par les soustractions correspondantes. Cela m'a permis de constater que le nombre Infini provoquait de graves incohérences.
J'ai alors défini deux nouveaux nombres infinis, établi aussi qu'il existait en fait une infinité de nombres infinis aussi bien que de nombres finis. Mes nouvelles équations ont ensuite permis de constater que cette approche de l'infini est la bonne. Toutes les incohérences précédentes ont disparu comme par enchantement !
Ce sujet semble donc clos. Et pourtant, la définition du nombre Infini apparait plus mystérieuse que jamais ! Je vais reprendre ici mon exemple du randonneur parcourant un nombre Infini de kilomètres. Nous comprenons évidemment qu'un nombre Nul de kilomètres n'allonge pas sa randonnée infinie ! Mais comment expliquer par contre que ce soit le cas avec un nombre Fini de kilomètres (10 par exemple) ou même avec un nombre Infini supplémentaire ? Comment une randonnée déjà infinie peut-elle s'allonger encore plus ? Cela dépasse l'entendement ! Une arithmétique cohérente suppose-t-elle l'entrée dans un univers parallèle, sans aucun rapport avec le monde réel ?
Fort heureusement, votre distingué Spalding a résolu la question avec son approche très british ! Ce sera l'objet de sa prochaine conférence : "Les dimensions de l'infini arithmétique". Mais en attendant, si vous avez des remarques... -
Bonjour,
J'ai lu tout ton commentaire et comme il y a de mon point de vue du bon et du mauvais, je vais faire le tri :
* DEFINITION DES NOMBRES ARITHMETIQUES
Ce ne sont pas des définitions mathématiques ; tu pars du principe que le lecteur comprend très bien ce que tu as en tête sauf que ces objets ne sont justement pas très naturels (au moins pour l'infini). Pour le terme "Fini", tu dis que tu prends un élément fini générique ; en mathématiques, on préfère utiliser des quantificateurs mais bon, on comprend ce que tu fais. Il ne m'apparaît pas clairement si "Infini" désigne aussi un symbole générique ou si tu ne considères qu'un seul type d'infini, ce qui est le point crucial pour la suite. Ta distinction entre infini actuel et infini potentiel est classique et tout à fait pertinente.
* LA NATURE DES ADDITIONS
Ta façon de définir la somme de deux nombres est essentiellement la définition mathématique utilisant les cardinaux : la somme de deux cardinaux est égale au cardinal de leur union disjointe. Rien à redire là-dessus donc. Tu parles ensuite de contenu et de contenant ; en mathématiques, la distinction est ensemble/élément de l'ensemble. Mais encore une fois, ce n'est que du vocabulaire.
* L'INFINI DANS LES ADDITIONS
Ici, les problèmes sérieux commencent. Un premier problème, c'est que comme tu ne t'autorises pas de quantificateurs, il te manquent des lettres pour distinguer deux nombres finis. Ton FINI est donc n'importe quel nombre réel, mais tu ne peux pas parler de plusieurs nombres à la fois ; c'est gênant.
Si on considère que quand il y a plusieurs FINI ou INFINI sur le membre gauche d'une même ligne, ils désignent la même quantité, alors les équations de gauche, vues mathématiquement comme des égalités entre cardinaux, sont correctes.
Il en va autrement des égalités de droite. Le premier problème est le suivant : dans ton paragraphe précédent, tu définis ce qu'est faire la somme de deux nombres. Mais tu ne définis jamais ce qu'est la soustraction. Certes, pour les nombres finis, c'est bien connu, mais pour les nombres infinis ? Voilà une façon de procéder : dans ce qui suit A et B remplacent NUL, FINI ou INFINI.
Je suppose que B est un cardinal plus grand que A ; dit autrement, il existe un ensemble à B éléments contenant un ensemble à A éléments. On définit B - A comme le cardinal des éléments de B qui ne sont pas dans A.
Note bien que ceci est une définition approximative utilisant les cardinaux mathématiques de la théorie des ensembles ; mais il n'y a pas que les cardinaux qui peuvent nous aider pour ce que tu cherches à faire : on a aussi la notion d'ordinaux, cf. plus loin.
Je vais expliquer pourquoi cette définition est incorrecte ; plus précisément, pourquoi elle dépend des ensembles A et B choisis. Considère deux ensembles infinis dont on peut énumérer les éléments (on dit dénombrables). Par exemple l'ensemble des entiers naturels $\mathcal{N}$ et l'ensemble des entiers plus grands qu'un entier donné $n$. Ces deux ensembles ont même cardinal d'un point de vue mathématique. Donc quand je fais la différence de ces deux infinis, avec ma définition, je trouve le cardinal des entiers plus petit que $n-1$, c'est-à-dire $n$ (en comptant $0$). Comme c'est vrai pour tout $n$, ma définition ne marche pas car la première règle en maths, c'est qu'une opération ne donne qu'un résultat.
Remarque qu'en considérant les nombres pairs (du même cardinal infini encore une fois), tu trouverais INFINI - INFINI = INFINI,comme tu l'as fait remarquer. Ce genre de remarques est déjà présent chez Galilée, qui avait remarqué qu'il y a autant de nombres entiers, que de nombres qui sont carrés de nombres entiers (je n'ai plus la référence).
Bref, ça ne va pas. Le bon point, c'est que tu as vu l'impasse et que tu as tenté de la contourner.
RECONSIDERATION DU PROBLEME
C'est le premier moment où tu considères différents types d'infinis et c'est très bien. Le terme INFINI + FINI notamment est intéressant. Comme dit précédemment, les mathématiciens ont deux façons de traiter l'infini : les ordinaux et les cardinaux. Il n'est pas question de faire un cours là-dessus, mais l'idée des ordinaux, c'est de s'intéresser à une relation d'ordre entre les éléments, alors que les cardinaux ne s'occupent que de leur nombre. Dans ce contexte, INFINI + FINI a un sens ordinal différent de INFINI, alors que pour les cardinaux, c'est la même chose.
A noter aussi que pour ce genre de considérations, on n'a pas envie de parler de nombres réels (pour des raisons précises liées à ce que sont les ordinaux, et notamment à la question des bons ordres).
Je ne commenterai pas les nouvelles équations. Comme les objets manipulés ne sont pas définis (je rappelle les problèmes soulevés précédemment : un ou plusieurs INFINI, que veut dire la soustraction, nature ordinale/cardinale...), ce serait du temps perdu.
CONCLUSION PROVISOIRE
Tu dis que tu n'as pas beaucoup de connaissances mathématiques mais il n'y a pas de problème car je crois que tu fais preuve de bonne foi. Je ne pense pas que la seule pensée raisonnable sur la notion d'infini soit la pensée mathématique moderne. En revanche, elle est cohérente, jusqu'à preuve du contraire. Depuis Cantor et ses cardinaux, puis Von Neumann et les ordinaux, la notion d'infini ne pose plus de réel problème aux mathématiciens. Il y a des subtilités mais elles sont bien comprises.
De plus, il existe déjà une "arithmétique de l'infini". Mais on ne peut pas faire n'importe quoi avec.
Je tiens à t'expliquer qu'il ne faut pas croire que tes questionnements sur ces notions sont novatrices. C'est sans doute très bien de vouloir trouver les choses soi-même, mais puisque des gens brillants ont déjà réfléchi sur ces sujets et apporté des réponses que la communauté mathématique approuve, pourquoi ne pas étudier ces théories ?
Cela dépend aussi de la discipline qui t'intéresse vraiment. Si tu veux parler d'infini avec des mathématiciens, il est primordial d'en savoir plus sur ce que j'ai raconté. Mais je crois que tu t'intéresses surtout à la psychologie. Il y a eu des tentatives célèbres de Lacan d'utiliser les mathématiques pour étudier le cerveau, notamment la branche qui s'appelle la topologie. Ces tentatives étaient grossières et on peut les qualifier d'imposture intellectuelle (peut-être involontaire, il y a présomption d'innocence).
En tant que mathématicien professionnel, je ne peux donc que t'encourager à comprendre vraiment les solutions apportées par les mathématiciens concernant ces problèmes. Sans doute qu'un point de vue purement philosophique est possible sur ces questions, mais il m'est difficile de croire que les solutions philosophiques (non-mathématiques) puissent être autre chose que :
a) des banalités ou pire
b) des paradoxes non résolus
J'espère que ce message t'aura convaincu. -
DÉFINITION DES NOMBRES ARITHMÉTIQUESmister_jones a écrit:Ce ne sont pas des définitions mathématiques ;.... Ta distinction entre infini actuel et infini potentiel est classique et tout à fait pertinente.
Il me semble que mes définitions sont très claires. Mon nombre Nul (0,000...) existe en arithmétique. Mon nombre Fini désigne n'importe quel nombre réel positif (hors zéro), toujours le même dans mes équations. Je ne vais bien sûr pas faire ici tout un cours sur les nombres réels ! Sinon, on peut en effet utiliser le terme ''quantificateur'' au lieu de ''générique" pour cette définition du nombre Fini.
S'agissant du nombre Infini, je pose en principe qu'il est supérieur à tout nombre fini. C'est bien sûr difficilement imaginable. On ne peut le réaliser mentalement qu'avec l'infini potentiel : "ne jamais s'arrêter".
Je n'utilise pas sinon le terme "générique" pour mon nombre Infini. Ma définition de ce nombre postule donc qu'il n'existe qu'un nombre infini (sans majuscule). Mais par la suite, je découvrirai que ce nombre Infini recouvre une infinité de nombres infinis. Il faudra donc lui donner un sens générique (quantificateur), par analogie avec ma définition du nombre Fini.
LA NATURE DES ADDITIONSmister_jones a écrit:... Tu parles ensuite de contenu et de contenant ; en mathématiques, la distinction est ensemble/élément de l'ensemble. Mais encore une fois, ce n'est que du vocabulaire.
La distinction entre "contenant" et "contenu" me parait plus expressive. Je l'utiliserai dans la prochaine partie de cette série pour les besoins de mes démonstrations. On peut de toute façon inventer de nouveaux termes mathématiques. Il faut seulement que leurs définitions soient bien précisées.
L'INFINI DANS LES ADDITIONSmister_jones a écrit:Ici, les problèmes sérieux commencent. Un premier problème, c'est que comme tu ne t'autorises pas de quantificateurs, il te manque des lettres pour distinguer deux nombres finis. Ton FINI est donc n'importe quel nombre réel, mais tu ne peux pas parler de plusieurs nombres à la fois ; c'est gênant.
Ce n'est pas gênant, évite au contraire des complications inutiles. Je rappelle ici que mon nombre Fini désigne en effet n'importe quel nombre réel positif (hors zéro) : sens générique, quantificateur si tu préfères. Ce nombre Fini est par ailleurs le même dans toutes mes équations : (Fini + Fini) désigne par exemple aussi bien (0,333... + 0,333...) que (8,420... + 8,420...) que (19,000... + 19,000...), etc. Si j'avais distingué au départ plusieurs nombres finis (une infinité en fait), je ne m'en serais plus tiré ! Et cela n'aurait rien changé fondamentalement à mes équations. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je n'ai pas considéré les nombres réels négatifs. Tu feras très facilement les transpositions nécessaires : (– ) × (– ) et (– ) / (– ) aboutissent par exemple à des résultats (+).mister_jones a écrit:Si on considère que quand il y a plusieurs FINI ou INFINI sur le membre gauche d'une même ligne, ils désignent la même quantité, alors les équations de gauche, vues mathématiquement comme des égalités entre cardinaux, sont correctes.
J'en prends acte !mister_jones a écrit:Il en va autrement des égalités de droite. ...tu ne définis jamais ce qu'est la soustraction. Certes, pour les nombres finis, c'est bien connu, mais pour les nombres infinis ?
Je n'ai jugé utile de m'attarder sur la nature des additions que parce que mes équations originelles (à gauche) impliquent seulement des additions. Mes équations résultantes (à droite) en découlent mécaniquement. Il s'agit ici de voir si l'introduction du nombre Infini, supposé ne désigner qu'un seul nombre infini, provoque des incohérences dans les résultats obtenus. Ce sera en effet le cas ! Je n'en suis pour l'instant qu'à l'investigation. Je teste une hypothèse de départ...mister_jones a écrit:Voilà une façon de procéder : dans ce qui suit A et B remplacent NUL, FINI ou INFINI.
...
Je vais expliquer pourquoi cette définition ...dépend des ensembles A et B choisis. ...
Bref, ça ne va pas. Le bon point, c'est que tu as vu l'impasse et que tu as tenté de la contourner.
Tu apportes de l'eau à mon moulin ! Je constate en effet que ma première série d'équations ne fonctionne pas bien. J'en ai donné un exemple caricatural. Ces équations aboutissent en effet à considérer que mes nombres Nul, Fini et Infini sont strictement identiques, alors que je les avais bien distingués dans mes définitions. Les incohérences en question viennent du fait que ma définition initiale du nombre Infini suppose (ou laisse supposer) qu'il n'existe en fait qu'un nombre infini, alors que je reconnais une infinité de nombres finis. Je considère donc par la suite qu'il existe aussi une infinité de nombres infinis. Mon nombre Infini devient ainsi nettement générique (quantificateur).
RECONSIDÉRATION DU PROBLÈMEmister_jones a écrit:C'est le premier moment où tu considères différents types d'infinis . Dans ce contexte (cardinaux, ordinaux), INFINI + FINI a un sens ordinal différent de INFINI, alors que pour les cardinaux, c'est la même chose.
...
Effectivement, les incohérences précédentes m'amènent à conclure qu'il existe plusieurs nombres infinis, même une infinité. Mon nombre Infini prend ainsi un sens clairement générique (quantificateur). J'aboutis donc à des résultats !mister_jones a écrit:Je ne commenterai pas les nouvelles équations. Comme les objets manipulés ne sont pas définis(... ) ce serait du temps perdu.
Je rappelle que ma définition initiale du nombre Infini supposait (ou laissait supposer) qu'il n'existait qu'un seul nombre infini. Mais j'ai testé cette définition avec 9 équivalences logiques, et les résultats obtenus ont abouti à de graves incohérences. J'ai par conséquent défini deux nouveaux nombres infinis : Infini+Fini et Infini×2 (sans espaces). Ma définition de ces nouveaux nombres m'a amené à constater qu'il existait en fait une infinité de nombres infinis. J'ai donc changé mes 9 équivalences logiques, avec des résultats cette fois tout à fait cohérents. Mais il faudra simplement que j'établisse comment un nombre infini peut être supérieur à un autre. Ce sera l'objet de la partie suivante de cette série : "Les dimensions de l'infini arithmétique". Et je ne me contenterai pas forcément de rabâcher ce que d'autres ont déjà écrit !
S'agissant des soustractions, je répète avoir considéré qu'elles résultaient mécaniquement des additions. J'ai donc procédé de la même façon avec les nombres infinis que finis. C'était une hypothèse de départ. Les résultats obtenus ont révélé de graves incohérences. J'ai alors défini deux nouveaux nombres infinis, ce qui m'a amené à reconnaitre qu'il existait en fait une infinité de nombres infinis. Mes nouvelles équations ont alors été parfaitement cohérentes. Le problème ne venait donc pas du fait que j'avais appliqué les mêmes règles pour les soustractions à mes nombres Fini et Infini.
Je n'ai pas sinon abordé les nombres ordinaux, car c'est inutile à ce stade. Je n'envisage en effet pas actuellement pourquoi il existe une infinité de nombres infinis. Ce sera l'objet de ma prochaine partie sur "les dimensions de l'infini arithmétique", comme déjà annoncé. Il faut procéder dans l'ordre et ne pas sauter les étapes ! Je ne pense de toute façon pas me servir des nombres ordinaux par la suite.
CONCLUSION PROVISOIREmister_jones a écrit:Tu dis que tu n'as pas beaucoup de connaissances mathématiques mais il n'y a pas de problème car je crois que tu fais preuve de bonne foi. Je ne pense pas que la seule pensée raisonnable sur la notion d'infini soit la pensée mathématique moderne. En revanche, elle est cohérente, jusqu'à preuve du contraire. Depuis Cantor et ses cardinaux, puis Von Neumann et les ordinaux, la notion d'infini ne pose plus de réel problème aux mathématiciens. Il y a des subtilités mais elles sont bien comprises.
De plus, il existe déjà une "arithmétique de l'infini". Mais on ne peut pas faire n'importe quoi avec.
Je ne fais justement pas n'importe quoi avec, puisque j'aboutis à des équations extrêmement cohérentes !mister_jones a écrit:Je tiens à t'expliquer qu'il ne faut pas croire que tes questionnements sur ces notions sont novatrices... puisque des gens brillants ont déjà (...) apporté des réponses que la communauté mathématique approuve, pourquoi ne pas étudier ces théories ?
Si l'on considère que tout le monde a déjà trouvé tout, il ne reste évidemment plus qu'à se taire ! Cela dit, on peut aussi faire une recherche personnelle. Je constate que tu n'as pas du tout démontré la fausseté de ma deuxième série d'équations ni de mes conclusions, à l'issue de cette première partie. Attends donc de voir la deuxième !mister_jones a écrit:.(...) Il y a eu des tentatives célèbres de Lacan d'utiliser les mathématiques pour étudier le cerveau, notamment la branche qui s'appelle la topologie. (...) et on peut les qualifier d'imposture intellectuelle (...)
En psychologie, Lacan et la psychanalyse ne sont pas vraiment ma tasse de thé. Cette approche de la psychologie est beaucoup trop philosophique. Je m'intéresse plutôt à la psychologie expérimentale : béhaviorisme et cognitivisme.mister_jones a écrit:(...) il m'est difficile de croire que les solutions philosophiques (non-mathématiques) puissent être autre chose que :
a) des banalités ou pire
b) des paradoxes non résolus
Je constate que tu n'as pas établi la fausseté de ma deuxième série d'équations. Est-ce que tu contestes par exemple mes conclusions selon lesquelles il existe une infinité de nombres infinis aussi bien que de nombres finis ? Cela dit, ces conclusions posent de nouvelles questions sur la nature de l'infini. Elles seront abordées dans ma partie suivante, comme déjà annoncé.
Par ailleurs, il arrive souvent (pas toujours) que les amateurs dans un domaine obtiennent des résultats intéressants. Ils peuvent en effet apporter un éclairage novateur sur certaines questions. J'ai fait par exemple une étude originale sur les accords du participe passé (70 pages), très appréciée par un linguiste ayant déjà publié là-dessus, alors que la grammaire n'est pas du tout ma spécialité.mister_jones a écrit:J'espère que ce message t'aura convaincu.
Sur ce plan, c'est raté. Il ne m'a pas du tout convaincu !
[Edit: S'il te plaît, évite de répéter l'intégralité du message auquel tu réponds et de cibler plus précisément les points discutés pour éviter d'avoir des pavés illisibles. jacquot] -
Spalding a écrit:Voyons maintenant ce que donnent tous ces changements pour nos 9 équivalences déjà exposées :
1)
Nul + Nul = Nul
Nul = Nul – Nul
2)
Nul + Fini = Fini
Nul = Fini – Fini
3)
Nul + Infini = Infini
Nul = Infini – Infini
4)
Fini + Nul = Fini
Fini = Fini – Nul
5)
Fini + Fini = Fini×2
Fini = Fini×2 – Fini
6)
Fini + Infini = Infini+Fini
Fini = Infini+Fini – Infini
7)
Infini + Nul = Infini
Infini = Infini – Nul
8)
Infini + Fini = Infini+Fini
Infini = Infini+Fini – Fini
9)
Infini + Infini = Infini×2
Infini = Infini×2 – Infini
Aucun doute : le résultat est très amélioré par rapport à la série précédente ! Remarquons d'abord que l'équation originelle 5 ne comporte plus qu'un seul terme pour le résultat indiqué (suppression des espaces). Mais surtout, les nombres Nul, Fini et Infini ne fusionnent plus comme précédemment : équations résultantes 3, 6, 9. Toutes les incohérences sont supprimées d'un coup !
Tu as inventé une arithmétique dans laquelle le seul calcul possible est d'ajouter ou soustraire $0$... -
Siméon a écrit:Tu as inventé une arithmétique dans laquelle le seul calcul possible est d'ajouter ou soustraire 0...
Là, je dois dire que je ne comprends pas très bien. C'est sûrement un manque d'intelligence... 8-)
Considérons les trois premières équivalences de ma seconde série, fournies obligeamment dans ton message. Le nombre Nul est alors le premier terme des additions pour les équations originelles (à gauche), donc le premier terme des soustractions pour les équations résultantes (à droite). Si nous envisageons seulement les additions, il est additionné successivement à lui-même, au nombre Fini et au nombre Infini. Cette façon de procéder est assez logique, non ?
Dans les trois équivalences suivantes (4 à 6), c'est par contre le nombre Fini qui se trouve en tête des additions et soustractions. Et il est additionné successivement aux trois nombres. Même logique que précédemment !
Dans les trois dernières équivalences (7 à 9), le nombre Infini suit les mêmes règles de combinaison.
Le nombre Nul tient donc la vedette dans le premier tiers des équivalences, le nombre Fini dans le deuxième tiers, le nombre Infini dans le troisième tiers. Cette répartition ne devrait pas faire des jaloux...
Ces équivalences sont par ailleurs logiques, mais ne permettent pas vraiment d'éclaircir la nature de l'infini. Comment un nombre infini peut-il être supérieur à un autre ? Ce sera le sujet de ma prochaine causerie : "Les dimensions de l'infini arithmétique"... -
C'est pourtant simple : que vaut 1+2 dans ton système ? ou 1 + INFINI ?
-
Siméon a écrit:C'est pourtant simple : que vaut 1+2 dans ton système ? ou 1 + Infini ?
1 + 2 vaut évidemment 3 ! C'est bien sûr moins que le nombre Infini.
Infini vaut de son côté moins que 1+Infini : un nombre, donc sans espaces de part et d'autre du signe plus (+). Ce nombre résulte bien sûr de l'addition : 1 + Infini (avec espaces).
Le nombre 1+Infini (sans espaces) vaut par ailleurs moins que le nombre 2×Infini (sans espaces).
Cela dit, il faut bien établir la base au départ. Si nous considérons ainsi les nombres pairs, ils sont en nombre Infini comme les nombres impairs. Cet infini n'est par contre que la moitié du nombre infini des nombres entiers, noté alors 2×Infini (sans espaces) par référence aux nombres pairs. Bref, tous les infinis ne se valent pas !
J'exposerai ma méthode de détermination des infinis dans ma prochaine causerie, ce qui me donnera l'occasion de revenir sur la nature de l'infini. Vous verrez alors que mes idées sont originales, autant que je sache en tout cas. J'ai déjà établi les principes généraux, mais il faut que je peaufine les détails et je n'ai pas beaucoup de temps disponible. Ce sera en tout cas ce mois-ci. Pour le moment, ne m'en demandez pas trop. Patience et courage d'ici là !
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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