espace fonctionnels complets

Comment montres-tu la complétude du deuxième espace ?

Bonjour,

ton second espace n'est pas complet.

Pour des espaces complets, tu peux penser à

$(C^n[0,1], ||.||_{n,\infty})$ où $||f||_{n,\infty}=||f||_{\infty}+ ||f'||_{\infty}+...+||f^{(n)}||_{\infty}$

Bien sûr girdav a raison, les espaces $C^n([0,1])$ ne sont pas complets pour la somme des normes $L^p$ des dérivées, si $p<\infty$. L'espace complet "naturel" pour cette norme est l'espace de Sobolev $W^{n,p}$, qui est plus gros, puisqu'on affaiblit la notion de dérivabilité. On sait également définir des espaces de Sobolev d'ordre $n$ fractionnaire, par exemple avec la transformée de Fourier.

Il y a aussi les espaces de Hölder : pour $\alpha \in ]0,1]$ on définit la semi-norme $|f|_{\alpha} = \sup_{x \neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha}}$, et $||f||_{0,\alpha} = ||f||_{\infty} + |f|_{\alpha}$ ; l'espace $C^{0,\alpha}$ est l'ensemble des fonctions $f$ telles que $||f||_{0,\alpha} < \infty$ et c'est un espace complet pour cette norme (bon exercice). On définit de même les espaces $C^{n,\alpha}$ des fonctions $C^n$ dont la dérivée $n$-ème est $\alpha$-höldérienne, avec une norme que je te laisse deviner.

Sans oublier les espaces classiques de suites : d'une part $\ell^p$, qui sont des cas particuliers de $L^p(E,\mathcal{A},\mu)$ lorsque $E=\N$, $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\N)$, $\mu$ est la mesure de comptage ; et d'autre part l'espace $c_0$ des suites de limite nulle qui est sous-espace fermé de $\ell^{\infty}$. A noter que les inclusions entre les $\ell^p$ sont dans le sens inverse par rapport à celles des $L^p([0,1])$.

Oui il y a ceux de Bergman, mais aussi de Hardy, Besov, Orlicz, Bargmann, Wiener-Sobolev en j'en passe... Mais Dfshr8 demandait les exemples courants