distribution

jijiii
jijiii
dans Analyse
Salut
J'ai l'exo suivant avec une difficulté à la question 3.
Soit $f \in \mathcal{C}(\R) \cap L^1(\R)$ avec $f$ paire et bornée et $\lambda \in \R<;$
1- calculer $\int_{-1}^1 \dfrac{1-f(\lambda x)}{x} dx$ je trouve 0
2- Montrer que $$\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} \varphi(x) dx = \int_1^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(-x)) dx + \int_{-1}^1 \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(0)) dx$$ c'est fait

3- on pose pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\R),\ < T_{\lambda},\varphi>\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} \varphi(x) dx$ avec $\lambda \in \R.$
Montrer qu'il existe une constante positive $C$ telle que $$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): \Big|\int_1^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(-x)) dx\Big| \leq C N_1(\varphi)
$$ Voilà ce que j'ai fait : $\displaystyle\Big|\int_1^{\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(-x)) dx\Big| \leq \int_K \Big|\dfrac{1 - f(\lambda x)}{x}\Big| 2 x |\varphi'(\xi_x)| dx$

par le théorème des accroissements finis et tel que $K$ est compact
$\leq C \sum_{x \in K} |\varphi'(x)| \leq C N_1(\varphi)$ avec $N_1(\varphi) = \sum_{\alpha \leq 1,\beta \leq 1} ||x^{\alpha} D^{\alpha} \varphi||_{L^{\infty}}$

Qu'en pensez-vous ?
merci

Réponses

  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    Quel est pour toi le sens de $\int_{-1}^1 \frac{1-f(\lambda x)}{x} \, dx$, par exemple si $f$ est nulle ?
    jijii a écrit:
    par le théorème des accroissements finis et tel que $ K$ est compact
    $ \leq C \sum_{x \in K} \vert\varphi'(x)\vert \leq C N_1(\varphi)$
    Pas clair du tout. Qu'entends-tu par "tel que" ? Qui est $K$ ? Qui est $C$ ? Il faut introduire les notations que tu emploies. Et ta somme sur $x \in K$ est plutôt un sup j'imagine.
  • sadfub0
    sadfub0
    la fonction$ x\longrightarrow \frac{1 - f(\lambda x)}{x}$ est bornée sur ton intervalle d'intégration
  • jijiii
    jijiii
    Si $f$ est nulle $\int_{-1}^1 \dfrac{1}{x}$ diverge.

    sinon comme sad l'a dis $\int_1^{+\infty} |1 - f(\lambda x)}{x} dx \leq M$ alors $\int_1^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(-x)| dx \leq M \int_{-1}^1 |\varphi(x) - \varphi(-x)| dx$
    comment on fait pour ce dernier terme?
  • egoroffski
    egoroffski
    jijii a écrit:
    Si $ f$ est nulle $ \int_{-1}^1 \dfrac{1}{x}$ diverge.
    Et ça ne te choque pas d'écrire des intégrales divergentes ?
    jijii a écrit:
    comme sad l'a dis $ \int_1^{+\infty} \vert 1 - f(\lambda x){x} dx \leq M$ alors $ \int_1^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(-x)\vert dx \leq M \int_{-1}^1 \vert\varphi(x) - \varphi(-x)\vert dx$
    Du grand n'importe quoi. Tu sembles appliquer une inégalité de la forme
    $$ \int_1^{+\infty} u(x)v(x) \, dx \leq \int_1^{+\infty} u(x)\, dx \int_{-1}^{1} v(x)\, dx $$
    qui est fantaisiste à plus d'un titre (ne serait-ce qu'au niveau des bornes des intégrales).
  • jijiii
    jijiii
    je crois que j'ai compris ce que tu veux dire.
    $\int_{-1}^1 \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} dx$ diverge, ca n'a donc aucun sens de l'écrire, et meme $\int_1^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x}$ diverge, cette écriture n'a donc aucun sens/
    on va plutot penser à récrire cette formule alors. je sais que $\int_{-1}^1 \dfrac{1}{x^2} dx$ converge, donc on écrit
    $\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(-x)) dx| = |\int_1^{+\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x^2} x (\varphi(x) - \varphi(-x)) dx| \leq M K \int_1^{+\infty} |x (\varphi(x) - \varphi(-x))| dx$ avec $K = |\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^2} dx$

    il me reste le dernier terme. comment on fait pour le dernier terme?
  • Welfar
    Welfar
    jijiii écrivait:
    > alors. je sais que $\int_{-1}^1 \dfrac{1}{x^2} dx$ converge

    Tu dois confondre avec l'intégration en $\infty$. Non manifestement le sens donné à ton intégrale est le suivant :

    $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int_{| x| >\epsilon} \frac{1-f(\lambda x)}{x} dx $ existe.
  • jijiii
    jijiii
    Je ne suis pas sûre de bien suivre... qu'est ce qui ne va pas dans mon tout premier post, exactement ?
  • Welfar
    Welfar
    En fait, il faut juster préciser quel sens tu donnes à l'objet :

    $\int_{-1}^{-1} \frac{1-f(\lambda x)}{x} dx$

    En effet, tel quel il ne s'agit pas d'une intégrale de fonction $L^1$ (puisque le terme intégré n'est pas sommable en général, comme par exemple si $f = 0$). Pourtant, tu peux lui donner un sens tel que je l'ai écrit ci-dessus.

    Donc il faut bien faire attention au fait que tu ne manipules pas vraiment une intégrale de fonction $L^1$, mais plutôt une limite.
  • jijiii
    jijiii
    Oui, c'est bien ça,
    mais dans la solution que je proposais dans mon premier post, j'intègre sur le support de $\varphi$ qui est un compact $K$.
    Est-ce qu'il y a des changements que je dois faire dans ma solution?
  • Welfar
    Welfar
    Oui enfin le problème est en $0$, pas en $+\infty$! Donc si $0\in K$, il vaut mieux quand même passer par la limite.

    [Case LaTeX. j]
  • jijiii
    jijiii
    que voulait dire Egorffski alors?
  • gerard0
    gerard0
    "voulez" verbe vouloir, présent de l'indicatif, deuxième personne du pluriel
    "voulait" verbe vouloir, imparfait de l'indicatif, troisième personne du singulier.

    Difficile de comprendre une phrase simple quand soi-même on fait des confusions de ce genre ...

    Egoroff te disait que ton intégrale n'a pas de signification. As-tu quelque chose dans tes cours qui permette de lui donner un sens, quelque chose d'analogue à ce que t'a proposé Welfar ?

    Cordialement.

    Bizarre, cet énoncé qui utilise une notation sans le dire.
  • acetonik
    acetonik
    En clair , connaissez vous la notion de valeur principale de Cauchy d'une intégrale ? ( souvent utilisée dans les distributions , encore faut il le dire)
    Sinon vous écrirez des calculs n'ayant aucun sens .
    Le zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige
  • jijiii
    jijiii
    quelque chose du genre $$\int_{-1}^1 \dfrac{1-f(\lambda x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\epsilon < | x| < 1} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} dx$$
    avec ca, la solution que je propose est bonne?
  • jijiii
    jijiii
    Toujours avec le meme exercice, il y'a la question: montrer qu(il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\R), |<T_{\lambda} , \varphi > | \leq C N_1(\varphi)$

    ce que je propose c'est: (par la question 2)
    $|<T_{\lambda},\varphi>| = |\int_{1}^{\infty} \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(-x)) dx + \int_{-1}^1 \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} (\varphi(x) - \varphi(0)) dx$
    $\leq C N_1(\varphi) + \sup |\varphi(x)| \int_{-1}^1 \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} dx| + \varphi(0) \int_{-1}^1 \dfrac{1 - f(\lambda x)}{x} dx|$
    et ces deux derniers membres sont nuls par la question 1.

    J'ai besoin d'un œil critique à ma solution, et merci.
  • jijiii
    jijiii
    quelqu'un?
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