Démontrer que 2 droites sont orthogonales

Calcule $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{KL}$ en remplaçant $\overrightarrow{KL}$ par $\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK}$.

Utiliser ensuite la question 3).

Bizarre qu'on parle de droites orthogonales, dans le plan le mot habituel est "perpendiculaires". On parle de "orthogonal" quand il est possible que les droites ne se coupent pas. Donc dans l'espace. On le dit aussi pour les vecteurs (qui ne peuvent se "couper").

Cordialement.

Bonsoir
On considère les points $U$ de $[AB]$ et $V$ de $[AC]$ tels que $AU= AV = 1.$
ABC un triangle rectangle en A, $U$ est sur $[AB]$ et $V$ est sur $[AC]$, donc $(AU)$ et $(AV)$ sont perpendiculaires.
De plus, $AU = AV = 1$ donc $(A ; U, V)$ est un repère orthonormé.
Soient $b>0$ et $c>0$ de sorte que dans le repère $(A ; U, V)$, on a $A(0;0), B(b;0), C(0;c).$ On en tire que $I(\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2}).$
Dans ce repère, on a aussi $H(\dfrac{bc^2}{b^2+c^2};\dfrac{b^2c}{b^2+c^2})$ et on en tire que $L(0;\dfrac{b^2c}{b^2+c^2})$ et $K(\dfrac{bc^2}{b^2+c^2};0)$.
Par suite, on a que $\overrightarrow{AI}(\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2})$ et $\overrightarrow{KL}(-\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}; \dfrac{b^2c}{b^2+c^2}).$
Ainsi, on a :
$\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{KL}=-\dfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}=0.$ Les droites $(AI)$ et $(KL)$ sont perpendiculaires.

Attention, Anne,

Bouzar ne suit pas le procédé proposé par ton exercice.

Cordialement.