Les défis math du monde, épisode VI

Bon, comme ça, sans la video, ce défi me semble moins motivant que les éditions précédentes...:S

Après, faut savoir pondre un problème par semaine...

Pas besoin d'ordi mais une petite heure quand même !

Certaines propriétés ont des conséquences immédiates (suivez mon regard !). Ensuite, il suffit de tatonner un peu...

Aldo

Bonjour à tous,

je "tombe" sur un nombre à 6 chiffres, qui me semble respecter la règle.
En construire une infinité à partir ce dernier est enfantin.
Après, pour montrer le caractère minimal de ce nombre, ça ne me saute pas aux yeux...mais je n'ai pas encore assez réfléchi
@ceux qui ont la réponse: trouvez-vous un nombre à 6 chiffres ?

Bon week-end à tous,

D'accord, mais pas avant une semaine

Je m'auto-corrige : j'ai dit une bêtise, je trouve bien 6 chiffres. La source de mon erreur : j'avais pris "2 chiffres pairs identiques à la suite" dans la proposition 8.

Bonjour

Et 120?

Je répondais juste à ta question... Un nombre divisible par 5 ne contient pas forcément un 5.

Eh oui... encore une invention pour embêter le monde... ("Monde"?)

Faut-il donner les réponses aux problèmes du Monde sur les Mathémathiques.net alors qu'un jeu concours est ouvert ? Si on aime ces petits problèmes on évite de couper la branche sur laquelle on est assis , rien n'empêche de débattre ou de prolonger le problème après la "dead line"

Domi

A. n ne contient pas de 5.
Justification. Si n contenait un 5 alors :
- n devrait satisfaire (5) ;
- le produit de ses chiffres serait un multiple de 5, contredisant (5).

B. n contient au moins un 0.
Justification. Selon (A) n ne contient pas de 5 alors par ¬(5) le produit de ses chiffres est un multiple de 5, premier. Or les seuls facteurs premiers possibles de ce produit sont 2, 3 et 7. Ce produit est donc nul.

C. n contient au moins deux chiffres.
Justification. Selon (B) n contient un 0. Si n était composé d'un unique 0 alors par (3) n contiendrait également un 3.

E. Le plus grand chiffre C de n admet une occurrence unique et vaut la somme S de tous les autres chiffres de n, somme qui est donc au plus égale à 9.
Justification. Selon (B) n contient un 0 et satisfait donc (0).

F. Le plus grand chiffre C de n est non nul.
Justification. Si C était nul alors selon (E) il serait la somme de chiffres strictement inférieurs à 0. Cette somme serait donc vide et n composé d'un unique 0. Or selon (C) n contient au moins deux chiffres.

G. n contient au moins trois chiffres non nuls.
Justification. Selon (F) le plus grand chiffre C de n est non nul. Selon (E) il admet une occurrence unique et vaut la somme S de tous les autres chiffres de n, strictement inférieurs à C. Cette somme contient donc au moins deux termes non nuls.

H. n contient un nombre pair de chiffres impairs.
Justification. Selon (E) le plus grand chiffre C de n vaut la somme S de tous les autres chiffres de n. Si C est pair alors S contient un nombre pair de termes impairs. Si C est impair alors S contient un nombre impair de termes impairs.

I. n contient au moins un chiffre impair.
Justification. Si n ne contenait aucun chiffre impair alors le produit vide de ses chiffres impairs serait égal à 1, carré parfait. Par (9) n devrait donc contenir un 9. Si l'on ne convient pas qu'un produit vide vaut 1 alors, toujours sous l'hypothèse que n ne contient aucun chiffre impair :
* par ¬(2) n ne contient pas de 2 ;
* par ¬(6) n ne contient pas de 6 ;
* selon (B) et (G) n contient au moins quatre chiffres (consécutifs), pairs par hypothèse ; alors par ¬(8) n ne contient pas de 8 ;
* finalement, n ne contient aucun chiffre non nul distinct de 4 ; selon (G) n contient au moins trois 4 mais alors (E) est contredit.

J. n contient au moins un 2.
Justification. Selon (H) n contient un nombre pair de chiffres impairs et selon (I) n contient au moins un chiffre impair. Alors n contient au moins deux chiffres impairs et satisfait (2).

K. Tout chiffre de supérieur ou égal à 3 admet au plus une occurrence dans n.
Justification. Soit c un chiffre de n supérieur ou égal à 3.
* Si c est égal 3 alors par (3) alors il admet une occurrence unique.
* Si c est supérieur ou égal 4, supposons qu'il admet au moins deux occurrences dans n. Alors selon (E) toutes les occurrences de c interviennent donc dans la somme S des chiffres de n distincts de C, dont l'occurrence est unique. Selon (J) n contient au moins un 2 alors S est supérieure ou égale à c+c+2, donc supérieure ou égale à 10. Or selon (E) S est inférieure ou égale à 9.

L. Si n contient un 9 alors n ne contient ni 3, ni 7.
Justification. Supposons que n contient un 9. Alors par (9) le produit des chiffres impairs de n est un carré parfait. Or 9 est un carré parfait alors le produit des chiffres impairs de n distincts de 9 est lui-même un carré parfait. Soit c un chiffre impair égal à 3 ou 7. c est premier alors le nombre d'occurrences de c dans n est pair. Mais selon (K) tout chiffre supérieur ou égal à 3 admet au plus une occurrence dans n. Alors n ne contient pas c.

M. n ne contient pas de 3.
Justification. Supposons au contraire que n contient un 3. Selon (H) n contient au moins un autre chiffre impair. Selon (A), (K) et (L) ce chiffre n'est ni un 5, ni un 3, ni un 9 : c'est un 1 ou un 7.
* Cas 3 et 1. Selon (B) et (J) respectivement, n contient un 0 et un 2 ; par (1) la suite des chiffres de n est décroissante. Alors par (3) n contient exactement une occurrence de 3, 2, 1 et 0, dans cet ordre. D'autre-part n ne contient aucun autre chiffre impair et donc, par ¬(6), aucun 6. Selon (E) le plus grand chiffre C de n vaut la somme S de tous les autres chiffres de n.
- Si C est impair alors C=3 est n=3210. Mais par (4) n devrait contenir un 4>C.
- Si C est pair alors la somme S de tous les autres chiffres de n est supérieure ou égale à 3+2+1=6. Mais n ne contient pas de 6 alors C=8. La somme 3+2+1 ne peut être complétée pour atteindre 8 qu'en ajoutant une fois 2 ou deux fois 1. Dans les deux cas, (3) est contredit.
* Cas 3 et 7. Selon (E) 7 est le somme des autres chiffres de n (sans quoi cette somme serait au moins égale à 3+7=10). Selon (J) n contient au moins un 2. Alors cette somme contient au moins les termes 2 et 3. Elle ne peut être complétée pour atteindre 7 qu'en ajoutant une fois 2 ou deux fois 1. Dans les deux cas, (3) est contredit.

N. n ne contient pas de 7.
Justification. Supposons au contraire que n contient un 7. Selon (H) n contient au moins un autre chiffre impair. Selon (A), (K), (L) et (M) ce chiffre n'est ni un 5, ni un 7, ni un 9, ni un 3 : c'est un 1. Par (1) la suite des chiffres de n est décroissante et selon (B) n contient un 0. Alors n se termine par un 0, est divible par 10 et (7) est contredit.

O. n contient exactement un 9, plus grand chiffre C de n et égal à la somme S de tous les autres chiffres de n.
Justification. Selon (I) n contient au moins un chiffre impair. Si tous les chiffres impairs de n étaient égaux à 1, leur produit serait égal à 1, carré parfait. Par (9) n devrait donc contenir un 9. n contient donc un chiffre impair distinct de 1. Or selon (A), (M) et (N), n ne contient ni 5, ni 3, ni 7. Alors n contient un 9, unique selon (K).

P. n contient exactement un 1.
Justification. Selon (O) n contient exactement un 9 et selon (H) n contient un nombre pair de chiffres impairs. Alors n contient un nombre impairs de chiffres impairs distincts de 9. Or selon (A), (M) et (N) n ne contient ni 5, ni 3, ni 7. Alors n contient un nombre impair de 1. Supposons que n contient au moins trois 1. Par (1), ces 1 sont consécutifs. Alors par (6) n contient un 6. Or selon (J) n contient au moins un 2. Alors la somme des chiffres de n distincts de 9 est au moins égale à 1+1+1+2+6=11 et (O) est contredit.

Q. n contient exactement un 1, un 9 et aucun autre chiffre impair.
Résumé de (A), (M), (M), (O) et (P).

R. n ne contient pas de 6.
Justification. Selon (Q) n contient exactement deux chiffres impairs. Alors par ¬(6) n ne contient pas de 6.

S. n ne contient pas de 8.
Justification. Selon (J) n contient au moins un 2. Si n contenait un 8 alors la somme des chiffres de n distincts de 9 serait au moins égale à 2+8=10 et (E) contredit.

T. n contient un 4.
Justification. Supposons le contraire. Alors selon (Q), (B), (R) et (S), les chiffres composant n sont 9, 2, 1 et 0, et la somme des chiffres de n distincts de 9 comprends les termes :
* 2 au moins une fois ;
* 1 exactement une fois.
Selon (O) cette somme doit être égale à 9. Ses termes sont donc 2, 2, 2, 2 et 1. Mais par (1) la suite des chiffres de n est décroissante, de la forme 9, 2, 2, 2, 2, 1, 0, ..., 0. Alors par (4) n doit contenir un 4.

U. n contient au moins un 0, un 2, un 4 et au aucun autre chiffre pair.
Résumé de (B), (J), (R), (S), (T).

V. n est de la forme 942210...0.
Justification. Selon (Q) et (U), les chiffres composant n sont 9, 4, 2, 1 et 0, et la somme des chiffres non nuls de n distincts de 9 comprends les termes :
* 4 au moins une fois ;
* 2 au moins une fois ;
* 1 exactement une fois.
Selon (O) cette somme doit être égale à 9. Ses termes sont donc 4, 2, 2 et 1. Enfin, par (1) la suite des chiffres de n est décroissante, de la forme 9, 4, 2, 2, 1, 0, ... On vérifie aisément que tout nombre de la forme 942210...0 vérifie (1), (2), ¬(3), (4), ¬(5), ¬(6), ¬(7), ¬(8), (9) et (0).

W. n=942210.

Juge Ti : est ce que vous pouvez me donner le code qui a vous donnez la bonne résultat ?