Une matrice non nulle...

Titoureflechit
Titoureflechit
dans Algèbre
Bonjour, j'ai vu hier la question suivante dans un sujet de
concours et sous son apparence très simple, elle me pose
des problèmes...

On considère une matrice carrée d'ordre n,
et X et Y des vecteurs propres de A associés à
des valeurs propres distinctes.

Il s'agit de prouver que X*transpose(Y)-Y*transpose(X)
n'est pas la matrice nulle...

J'y arrive quand n<4, mais pas dans le cas général...

Une idée ?

Merci d'avance,

Titou

Réponses

  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Tu peux facilement le faire par l'absurde. Suppose qu'elle soit nulle, donc X.t(Y) = Y.t(X). Multiplie alors A les deux. Tu les multiplies par des valeurs différentes et dois obtenir la même chose. C'est donc que X.t(Y) = Y.t(X) = 0 et tu conclus.
  • forp
    forp
    $X$ et $Y$ forment une famille libre
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    Si je ne me trompe, l'égalité $X Y^\mathbf{T}=Y X^\mathbf{T}$ équivaut exactement au fait que la famille $(X,Y)$ est liée dans $\K^{n}=\mathcal{M}_{n,1}(\K)$, non ?
    Bonne soirée.
    RC
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Vous avez raison. C'est simple, et pourtant je l'ignorais.
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    Moi aussi ... ;)
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