Fibonacci
dans Arithmétique
Bonjour ,
un tout petit exercice facile :
Soit Phi le nombre d'or valant (1+sqrt(5))/2.
Soit la suite définie par :
u(0) = 1,
u(n) = u(n-1) + Phi si n est impair,
u(n) = u(n-1)/Phi si n est pair .
Calculer S = Somme (u(n)/2n , n = 0...infini ) .
bien cordialement
kolotoko
un tout petit exercice facile :
Soit Phi le nombre d'or valant (1+sqrt(5))/2.
Soit la suite définie par :
u(0) = 1,
u(n) = u(n-1) + Phi si n est impair,
u(n) = u(n-1)/Phi si n est pair .
Calculer S = Somme (u(n)/2n , n = 0...infini ) .
bien cordialement
kolotoko
Réponses
-
Pour participer, j'ai trouvé sans en être vraiment sûr
$$\frac{2}{3} \, \frac{15 \Phi+4}{4 \Phi - 1} = \frac{31 \sqrt 5 +127}{57} \approx 3,444\dotsc$$
C'est ça ? -
Bonjour,
exact : 3,444177321096376852433059363...
bien cordialement
kolotoko -
Moi, ce que je n'ai pas trouvé, c'est l'intérêt de cette question.
-
Bonjour,
la plupart des exercices de mathématiques n'ont qu'un intérêt limité.
Exemple : livre de préparation au BAC (vers 1940):
Le rayon équatorial terrestre étant égal à 6 378 393 m et la latitude de la Faculté de Grenoble étant 45° 11' 22'', on demande de calculer le chemin qu'il faut parcourir vers l'est, en partant de la Faculté, pour arriver en un point dont l'heure avance de une seconde sur celle de la Faculté. La terre étant supposée sphérique.
On admirera la précision de l'énoncé
bien cordialement
kolotoko -
Raymond Cordier a écrit:Moi, ce que je n'ai pas trouvé, c'est l'intérêt de cette question.
Bah, c'était un petit exercice sympa, non ? Pour une fois que j'en trouve un, tu ne vas pas casser mon coup, tout de même ! (tu)
Personnellement, je préfère ce type de sujet que ceux qui prétendent démontrer, à la va-vite, à la fois l'hypothèse de Riemann, les conjectures de Goldbach et Waring et celle de Swinnerton-Dyer... -
En effet, les démonstrateurs de conjectures, je ne les lis même pas, mais ce n'est pas une raison pour poser des exos sans intérêt - sans vouloir offenser quiconque. Enfin comme dirait H, disons que je trouve cet exo sans intérêt ... Puisque c'est le relativisme au pouvoir ...
Bonne journée.
RC -
Bonjour,
évidemment tout l'intérêt de l'exercice est dans la méthode de résolution et non dans le résultat finalement obtenu .
Attendons avec impatience celle de Raymond Cordier.
Essai n'a pas explicité sa méthode .
bien cordialement
kolotoko -
Raymond Cordier a écrit:mais ce n'est pas une raison pour poser des exos sans intérêt.
J'interviens, car j'ai donné il y a un mois un exercice sur ce forum (voir le fil intitulé "une somme classique").
Je comptais en donner un autre, mais la remarque de Raymond Cordier ci-dessus m'appelle à la prudence. En particulier, j'aimerais bien que l'on définisse ce qu'est un exercice intéressant (en effet, pas la peine de me décarcasser à un donner un si peu après il est qualifié d'exercice "sans intérêt"). -
kolokoto a écrit:Essai n'a pas explicité sa méthode.
J'ai vérifié que $u_{2n} = \Phi + 1 - \Phi^{1-n}$, ce qui, au passage, assure la convergence de la série, puis
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{u_n}{2^n} &= \sum_{m=0}^\infty \frac{u_{2m}}{4^m} + \frac{1}{2} \sum_{m=0}^\infty \frac{u_{2m+1}}{4^m} \\
&= \sum_{m=0}^\infty 4^{-m} \left( \Phi + 1 - \Phi^{1-m} \right ) + \sum_{m=0}^\infty 4^{-m} \left( \Phi + \frac{1}{2} - \frac{\Phi^{1-m}}{2} \right ) \\
&= \sum_{m=0}^\infty 4^{-m} \left( 2 \Phi + \frac{3}{2} - \frac{3 \Phi^{1-m}}{2} \right ) = \frac{2}{3} \, \frac{15 \Phi+4}{4 \Phi - 1}.
\end{align*} -
Bonsoir,
j'ai lu attentivement ce qui précède .
Bien, très bien même.
Je n'avais absolument pas fait pareil la même chose.
J'ai procédé ainsi :
Soit la suite définie par :
u(0) = 1.
u(n) = u(n-1) + r si n est impair .
u(n) = u(n-1) * q si n est pair .
Calculer : somme (u(n)*x^n, n = 0... infini) .
Cas particulier : r = Phi, q = 1/Phi, x = 1/2 .
bien cordialement
kolotoko -
Il faut imposer $\max \left ( |x|, |q| \right ) < 1$ pour assurer la convergence. La même méthode que ci-dessus donne alors sous cette hypothèse $$\sum_{n=0}^\infty u_n x^n = \frac{1+x(r+1)-x^2(1-qr)-x^3}{(1-x^2)(1-qx^2)}$$
[Corrigé selon ton indication. AD] -
Bonsoir,
c'est bien la formule obtenue par moi-même aussi.
bien cordialement
kolotoko -
Bonjour,
à propos de l'exercice de BAC d'il y a plus de 70 ans ci-dessus ; je serais curieux de savoir comment les élèves faisaient exactement .
Pas de calculatrice à cette époque .
Règle à calcul trop imprécise.
bien cordialement
kolotoko -
; je serais curieux de savoir comment les élèves faisaient exactement .
Pas de calculatrice à cette époque .
Il y avait les tables de logarithmes (Bouvard et Ratinet, pour moi), assez précises si on préparait bien le travail.
Rappel : A cette époque, le bac concernait 2 à 3% d'une génération.
Cordialement. -
Je suis navré de risquer de faire de la peine à qui que ce soit : la notion d'exercice intéressant est sans doute en grande partie subjective. Mais les critiques d'art, les critiques littéraires, les critiques cinématographiques, les critiques théâtraux ne se gênent pas pour émettre des jugements de valeur en grande partie subjectifs, c'est même leur boulot. Évidemment, il y a le problème des critères, mais eux non plus ne les explicitent pas toujours.
Bref, cette drôle de suite où tantôt on soustrait phi, tantôt on divise par phi, cela sent le truc scolaire dans le pire sens du terme, sans aucune motivation mathématique réelle, et pourquoi phi, mon Dieu ? Si cela a été posé au bac, bon, c'était l'exo bateau pour distinguer ceux qui savent calculer, et le concepteur avait l'inspiration en panne.
<< Il est des jours où Cupidon s'en fout >>
Maintenant, mon maître en relativisme, H, me dirait sans doute que c'est parce que moi je n'aime pas ça, bon, demandez à d'autres matheux plus prestigieux quel est l'intérêt de ce genre d'exercice, j'attends avec confiance le résultat du sondage.
Bonne soirée.
RC -
Bonjour,
on se demande parfois l'utilité des mathématiques :
à quoi sert de savoir que la somme des inverses des nombres de Fibonacci non nuls est un nombre irrationnel ou de savoir qu'un espace souslinien (en particulier lusinien) est fortement radonien ?
Quelque professeur a bien essayé de m'initier un jour à ce genre de subtilité .
bien cordialement
kolotoko -
Effectivement, tout ça est en grande partie subjectif. On est quand même nombreux à considérer que "La jeune fille à la perle", c'est plus beau qu'un tag de banlieue.
Il y a comme une "inter-subjectivité".
Les deux choses que tu cites me semblent bien plus intéressantes que la somme de la série en question (pour autant que je comprenne la seconde).
Mais qu'on cherche cette somme, bon, chacun fait ce qui lui plaît.
Faut que je me repose d'avoir marché pour la bonne cause.
Bonne soirée.
RC -
Bonsoir,Raymond Cordier a écrit:Faut que je me repose d'avoir marché pour la bonne cause.
Voilà qui est tout aussi subjectif que ce qui précède, et de plus totalement hors de propos ici.
Tes opinions autres que mathématiques sont hors sujet et inappropriées ici, comme on dit de l'autre côté de la mare aux canards.
Cordialement,
Rescassol -
Resscassol,
Raymond a le droit d'être content d'avoir participé au défilé pour soutenir le mariage pour tous.
Mais je reconnais, qu'avec un autre, ils nous les brisent menu (in "Les tontons flingueurs"). C'est un type d'incorrection qu'on peut trouver dommage pour quelqu'un de 20 ans, qui est plutôt malsain chez quelqu'un qui a une carrière de prof derrière lui.
Cordialement. -
L'aspect positif c'est tout de même que son pouvoir de nuisance s'est sérieusement affaibli depuis qu'il est retraité (à moins qu'il ne sévisse encore en colle, je ne sais pas si c'est possible). Un prof incapable de reconnaître qu'une preuve différente de la sienne est correcte, c'est l'un des pires profils pour un prof de math.
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En ce qui me concerne je trouve que la plupart des équations fonctionnelles (dont RC dit faire la collection) n'ont qu'un intérêt récréatif, tout comme l'exercice de kolotoko.
-
Tiens j'avais raté les piques de RC sur la page précédente. Ses procédés rhétoriques sont vraiment pathétiques.
[Corrigé selon ton indication. AD] -
Bonjour,
le lecteur attentif aura reconnu dans mon précédent propos le théorème de Richard André-Jeannin (1989) et un énoncé de Nicolas Bourbaki.
bien cordialement
kolotoko -
Et la série avec plus phi et divisé par phi, c'est le théorème de qui ?
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Ma carrière de professeur n'est pas tout à fait derrière moi, elle se poursuit par une activité réduite mais bien réelle, et notamment ici.
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Et pour revenir sur les jugements de valeur, voici l'illustration de ma comparaison précédente. Peut-être certains trouveront-ils ces deux productions graphiques égales en qualité et en intérêt, c'est leur droit, mais je crains que le dialogue soit impossible.
Bonne journée.
RC -
C'est la jeune femme sur le portrait qui a peint ces superbes tags? Elle a du talent
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Voyons, quelqu'un qui met en exergue les beaux alexandrins du père des lettres françaises ne saurait avoir si mauvais goût
Bonne journée.
RC -
C'est vrai qu'elle est plus à mon goût (tout est relatif quoique) que Madame Boutin. Est-ce une raison pour passer à côté de cette dernière, inanimée, et ne pas même tenter quelque pudique bouche à bouche pour la faire revenir au monde réel?
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Quand on est occupé à descendre des bières avec les potes skin et à se bagarrer avec la police jusqu'à plus d'heure on ne peut pas avoir la tête ailleurs. Le lendemain tu as le bras droit un peu raide. :)o -
Un tableau qui a inspiré un joli roman à Tracy Chevalier (et son adaptation au cinéma)
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Troll troll troll...
Il y a 15 jours j'ai assisté à une conférence de Wendelin Werner qui n'a eu de cesse d'insister que les matheux devraient apprendre à ne se méler que de ce qu'ils connaissent... Ca ne veut pas dire qu'il faut brûler sa carte d'électeur mais bon...
Tchuss...
F.D.
PS: je n'aime pas non plus l'énoncé de départ mais, finalement, le résultat est intéressant car il m'aura appris quelque chose -
Un peu sectaire le bonhomme. Je pense que la situation actuelle est le résultat dans une certaine mesure du fait que des gens suivent un tel conseil. -
Salut,
il pensait plus à Bieberbach par exemple...
Disons que (rebondissant comme le référentiel du même nom) je ne suis pas si sûr que les maths soient une "école du raisonnement" sinon tous les matheux seraient d'accord sur tout et puis, le côté "argument d'autorité" n'a pas vraiment cours chez nous non?
Sinon, ce que veut dire Werner c'est que ce n'est pas parce que l'on est matheux (voire un excellent matheux dans son cas) que ça veut dire que l'on a raison en dehors de son champ de compétence...
Trollons bien le forum... :-/
amicalement,
F.D. -
Une évidence. Quoique. On voyait bien un célèbre physicien faire de la retape pour le nucléaire et utiliser son aura pour distiller son message comme si ce type avait dans sa musette les solutions pour se débarrasser des déchets et ne pas léguer aux générations futures des poubelles radioactives qui fuient. C'est beau la confiance en la science. -
Il y a 15 jours j'ai assisté à une conférence de Wendelin Werner qui n'a eu de cesse d'insister que les matheux devraient apprendre à ne se méler que de ce qu'ils connaissent...
Si les femmes étaient restées derrière leurs fourneaux à ne se mêler que de ce qu'elles connaissaient, on n'en serait pas là! Les matheux feraient bien d'en faire autant! Est-ce le sens du message? -
Salut,
(trollons dans la joie et l'allégresse...)
Je crois que Werner voulait (du moins je serai de son avis pour) dire que on a une position d'expert (comme on peut l'avoir en classe) et une position personnelle, citoyenne.
La légitimité de la position d'expert n'influe en rien sur la légitimité de celle du citoyen.
Quand il m'arrive d'aborder des sujets "polémiques" avec mes élèves (dans ma position syndicale par exemple) je l'assortis toujours de "mon avis et le vôtre se valent largement", "ce n'est pas le prof de maths qui parle"...
(Je précise que cette situation reste très rare même si ça n'aurait rien de contraire à la laïcité et que ça se cantonne à des cas rares : minutes de silence, commémoration etc.)
Bref, je pense que ce n'est pas parce qu'on est expert en ci ou ça qu'on a raison sur tout.
(A contrario, n'exagérons rien, ce n'est pas un amateur ayant un bac STG qui va trouver la démo "élémentaire" de Fermat par exemple.)
(Ayé bien trollé môa ... désolé)
Bonne soirée,
amicalement,
F.D. -
Oh que si l'argument d'autorité existe en maths...Les mathématiciens sont aussi des êtres humains qui vénèrent leurs stars. Imaginons que Terence Tao et un obscur amateur posent une question sur une équation diophantienne sur Mathoverflow, qui aura le plus de votes ? Le pote d'Esteban et Zia tiens !
-
Trollons ensemble, une dernière (?) fois, à l'amitié....
"Expert" ne signifie pas "Hors Pair" et il ne faut pas oublier qu'un expert, comme beaucoup d'autres hommes, cherche à gagner sa croûte et le mieux possible, s'inquiétant, ni plus ni moins que les autres hommes, des retombées de ses actes, qualifiés d'"expertises".
Il est remarquable qu'on ne parle pas d'"expert en Maths" mais qu'existent les "experts comptables". Qu'est-ce qu'un bon expert comptable, si ce n'est celui que tu vas payer suffisamment pour qu'il t'indique des ficelles pour payer le moins possible?
Presque tous les jours tu te fais emmerder par un "expert" au téléphone qui t'explique que t'as la chance inouie d'habiter dans ton village de merde parceque, lui, y va t'expliquer que ta maison c'est pas comme ça qu'il fallait la faire, etc..J'en ai ras-le bol des experts!
Experts de pacotille! que ceux de mes exemples diras-tu! Parle-moi des autres alors, je t'attends! En toute sympathie!
PS:à l'évidence, point n'est besoin de se prendre pour un expert pour affirmer que quelques malades feraient mieux de voir un psy (certains sont gratuits) que d'étaler leurs délires scientistes sur ce forum (faut dire qu'à leur répondre on les excite) -
Bonsoir ,
la réponse attendue , pour le problème de la seconde d'avance à Grenoble était 326,9 m.
Toujours bon à savoir.
bien cordialement
kolotoko -
@Kolotoko : je ne me sens pas capable de trouver ce résultat seul :-/ Il faudrait que je tropuve un peu de temps...
(Troll is back)
Depasse : j'ai rien compris à ton message?
"Expert comptable" ce n'est qu'un titre comme professeur "agrégé" (j'ai une tête d'agrégat peut-être?).
Pour revenir sur l'argument d'autorité : c'est Noam Chomsky qui racontait comment une même conférence devant des matheux et des psy s'était déroulée: avec les matheux, les questions étaient sur le fond, avec les psy c'était la foire d'empoigne "vous n'y connaissait rien", "vous n'avez aucun diplôme" etc.
Il en tirait la conclusion que seule une de ces deux disciplines avait du "fond". Sacré Chomsky!
Ce débat mériterait presque d'avoir son propre topic mais ça n'est pas le lieu, un bistrot le ferait mieux lol
(Fin du troll, Hervé Mariton sort de mon corps)
Bonne journée à toutes et à tous,
F.D. -
Bonjour
personne n'a répondu au moins à deux idées posées sur ce fil..
A quoi serve les maths....?
A quoi sert le sujet du début de ce fil...?
("je dirai, à vous faire réfléchir avant d'écrire d'écrire...et 3 pages de réflexions..ce qui n'est pas mal.")
Les maths sont il l'école du raisonnement...?
Alors j'en pose une :
si les non maths existaient, pourrait on démontrer quelque chose et ou expliquer un phénomène: naturel , physique, avec un raisonnement rigoureux ou élémentaire.
Est ce que cela permettrait de construire tous les matériels existant sur cette planète, et leur moyen de communication qui nous permet d'écrire toutes ces conneries...et leurs critiques souvent déplacées....?
Existe-t-il quelque chose qui permette de décrire les maths, à part rien…. ?
Pour en finir, et aussi avec cette idée :
Pas plus qu’un expert en math, avec tous les outils mathématiques modernes ;(A contrario, n'exagérons rien, ce n'est pas un amateur ayant un bac STG qui va trouver la démo "élémentaire" de Fermat par exemple.)
Car on le saurait… !
Bon amusement messieurs les profs….. -
Est-ce que la complexité de la vie se laisse enfermée dans un modèle physico-mathématique?
Le jour où des gens seront capables de calculer et prévoir le comportement de foules, de gens peut-être, la démocratie sera devenue superflue et sans intérêt pour ceux qui prétendent nous diriger, je vous laisse imaginer la suite. -
Et la complexité de la grammaire française, dans quoi se laisse-t-elle enfermer ?
Tiens, la grammaire, c'est encore une axiomatique, non ?(:P)
Bonne journée.
RC -
Etant donné que nous avons très largement dévié du sujet initial (nous sommes sur le forum Arithmétique !), la discussion va s'arrêter ici.
Bonne journée.
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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