Équation fonctionnelle entière

et $f(z)=iz$ ?

Bon j'ai un peu de temps devant moi pour décrire ma démarche:

Ecrivant $f(z)=\sum_k a_k z^k$, je définis $g(z)=\sum_k\overline{a_k} z^k$, de sorte que pour tout complexe $z$, $\overline{f(z)}=g(\overline{z})$ et donc $|f(z)|^2=f(z)g(\overline{z})$. Par suite, posant $z=x+iy$, l'équation à résoudre devient
$$\forall (x,y) \in \R^2, f(x+iy)g(x-iy)=f(x)g(x)+f(iy)g(-iy)$$.
Par le principe des zeros isolés, l'égalité précédente se prolonge pour tout $x,y$ dans $\C$, et en remplaçant $iy$ par $y$ on obtient
$$\forall (x,y) \in \C^2, f(x+y)g(x-y)=f(x)g(x)+f(y)g(-y)$$.
Ici j'ai appliqué aux termes droite et gauche l'opérateur $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}$. Le terme de droite devient nul, et après calcul de cet opérateur sur le terme de gauche, ça donne
$$\forall (x,y) \in \C^2, f''(x+y)g(x-y)-f(x+y)g''(x-y)=0.$$
En posant $u=x+y$, $v=x-y$ on a donc $f''(u)g(v)=f(u)g''(v)$, ce qui implique que $f''/f$ est constante (en laissant de coté le cas $f=0$), ce qui permet de déduire que $f$ est de la forme que j'ai donné dans le post précédent (en utilisant que $f(0)=0$)

Même en considérant le fait qu'à l'époque la théorie des fonctions analytiques était moins avancée, il semblerait que annals of maths était jadis pas mal moins exigeants sur les publications que de nos jours

Sinon, vu l'absence de réactions de l'auteur, je crois bien que j'ai bossé dans le vent :-(

Merci Welfare..C'est toujours rassurant de se savoir lu par au moins une personne -D