A propos de séries.

Bonsoir tout le monde,
on note f la fonction égale à 1 sur $[\frac{1}{2},1]$ et 0 sur $[0, \frac{1}{2} [$.
Soit $\varepsilon >0$. On montre qu'il existe deux polynômes $P_1$ et $P_2$ qui coïncident en 1 et qui sont tous deux nuls en 0 tels que
$P_1 \le f \le P_2$ et $\int_0 ^1 \frac{P_2(x)-P_1(x)}{x(1-x)} dx \le \varepsilon $. $(a_n)$ désigne une suite réelle telle que pour tout $x \in ]-1,1[$ $\sum a_n x^n$ converge et il existe $A \ge 0 $ tel que pour tout n $a_n \le A/n$.
Sachant que pour tout polynôme Q $\lim\limits_{x \to 1^-} (1-x)\sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n Q(x^n) = \int_0 ^1 Q$, il s'agit de montrer qu'il existe c >0 tel que pour tout $x \in [c,1]$ la quantité $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n f(x^n)-\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n P_1(x^n)$ est majorée par $(A+1) \varepsilon$.
On montre bien sûr au préalable qu'elle existe.
J'ai essayé de majorer : $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n f(x^n)-\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n P_1(x^n) \le A \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{P_2(x^n)-P_1(x^n)}{n}$. (Pas de problème concernant la convergence de la série qui apparaît : on montre pus haut dans le problème qu'il y a effectivement convergence).
Mais je ne vois pas comment introduire la donnée sur les polynômes Q.
N'hésitez pas à poster un message si vous y voyez plus clair.
Amicalement.