Agreg externe 2013 (Analyse)
Allez bon courage à tous et à tout-à-l'heure pour les impressions !
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Réponses
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Alors voilà la deuxième épreuve de ce matin.
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En tant qu'algébriste, je ne dirais qu'un mot:Beuuuuuh !!!!
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Moi qui aime bien l'analyse, je trouve le sujet plutôt chouette ! J'ai l'impression qu'il y avait pas mal de questions abordables. Je le regarderai plus en détails plus tard.
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Merci pour l'énoncé.
Il semble qu'on puisse traiter une bonne partie du sujet en 6 heures sans embûches particulières. -
@GreginGre +1
Alors, pour les staitstiques : sur Marseille entre 60 et 70 personnes présentes, et environ 50% d'absents.
Les sorties au bout de deux heures trente sont limitées (pas plus de 5 ou 6 personnes, soit environ 10% des présents, soit environ 5% des inscrits)
Sinon, bah.... l'analyse c'est pas forcément mon truc.
Volny -
Re,
hé ben j'ai trouvé que globalement les sujets étaient plus faciles cette année. Reste à attendre les résultats, pour que les boeufs passent avant la charrue comme il convient.
Pareil à Dijon, beaucoup moins de candidats qui partent au bout de 3h, par rapport à l'année dernière s'entend. -
Pareil à Clermont-Ferrand : environ 60% d'absents !
sinon, pour moi qui aime autant l'algèbre que l'analyse, j'ai eu la sensation que le sujet était plus ardu qu'hier...mais d'accord avec Drasseb, nettement plus abordables que certaines années précédentes...
Parties I, II et III : Ok sauf la continuité de T (partie I)...d'ailleurs quelqu'un aurait il une piste sur cette question ?
et j'ai débuté la IV...
quelqu'un a t'il fait la V ? la projection ?
...donc bon, c'est pas forcément le nirvana, mais avec hier et tous les absents...peut être une bonne nouvelle au mois de juin... -
Continuité de T : T est bornée sur la boule unité, ou T est 2 lipschitzienne, au choix
en gros $|v_n| \leq |l - u_{n-1}| \leq |l| + |u_{n-1}| \leq 2 || u_n ||$
car $|u_n| \leq ||u_n|| \Rightarrow | l | \leq ||u_n||$
et donc $|| v_n || \leq 2 || u_n ||$
Mais bon, ça c'est de l'algèbre
idem pour $T^{-1}$ d'ailleurs, avec $u_0 = v_0$ et $u_n = v_0 -v_n$ et encore $|| u_n || \leq 2 || v_n ||$ -
Pour l'instant pour les stats nous disposons des infos suivantes :
*Clermont-Ferrand : 60% d'absents ;
*Dijon : 36 présents, 21 absents ;
*Marseille : environ 60 à 70 personnes présentes pour 50% d'absents. -
Je pense avoir gagné le droit de recommencer l'année prochaine.
-
merci Volny
et pour les stats , personne n'a d'idée en ce qui concerne Paris ? -
Quelques infos pour Rennes (mais seulement pour l'un des deux centres d'examen):
- 44 présents sur les 76 attendus
- un nombre très faible de sorties précoces (4 ou 5)
Voilà -
+1 pour la facilité (relative)
En algèbre , lemne de stabilité des sep , =du cours
En analyse , noyau de Dirichlet , = du cours et 1ere question intégrale convergente avec une IPP
Par contre , tjs de la longueur... en Analyse la formule de II 6°) me laisse encore rêveur.
Mes justifications de l'holomorphie du produit infini risque de faire frémir le correcteur (d'horreur :-))
Idem pour l'intégrabilité de Phi, j'ai plutôt montré loc intégrable. En fait cela se majore par du ($\frac{1}{1+s^2}$ !!
A Bientot
Bonne chance à tous !
Cdt
Bruno
PS pour le II 6°) et au-dessus on peut consulter la preuve du Thm de Muntz-Satz dans le Rudin Analyse réelle et complexe. Qui utilise d'autres arguments mais quasiment la meme fct holomorque et le produit infini du texte.
Pour les stats rien de précis on est sur plusieurs étages à Paris. -
Volny DE PASCALE écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,827076,827236#msg-827236
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En fait je ne vois pas comment cela marche comme l varie !?
Pour T-1 continue on peut sortir le thm de Banach (le coup de massue :-)) -
Ben a Mayotte 16 inscrits 10 présents quelques sortie précoces. Mais bon nous on y vas pour la clim. 12 heures de clim alors qu'il fait 40 dehors c'est pas négligeable B-)-
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Tu peux voir que les suites sont convergentes donc bornées tu prend le max des bornes tu as la continuité.
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A montpellier, à la louche 50-60 personnes, apparament plus de monde que l'an dernier. Peu sont sortis avant.
Pas mal d'absents.
(Au passage : salut Volny) -
Hello
À la Réunion, 40 personnes sur un peu plus de 80 inscrits, quasiment que des profs ;-)
Une petite dizaine de sorties au bout de 2h30, et comme à Mayotte, clim pendant les deux épreuves (de 12h à 18h) -
12 pages, c'est vraiment un sujet obèse !
Jean-Yves Degos -
Je vois mal comment il était faisable en 6 heures. Je n'ai personnellement fait que la partie I complète, un morceau de la lI et de la IV.
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Ne cherche pas rare sont ceux qui peuvent le faire en 6 heures. Et c'est d'ailleurs pas fait pour.
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@bruno16
$l$ ne varie pas, c'est la limite de $u$ et sa valeur absolue est majorée par la norme de $u$
Lorsque $u$ change, $l$ change aussi, mais on s'en tape : ce qui compte c'est qu'à $u$ fixé on puisse majorer la norme de $T(u)$
Ou encore que pour $u \in B_o(0,1)$ on ait $||T(u)||$ majorée.
Ce qui est le cas.
De quel Théorème de Banach parles-tu ? J'en connais quelques-un, mais aucun ne semble s'appliquer à la réciproque d'une fonction linéaire ?
@Fabien Salut Fabien-D bonjour aux Montpelliérains, et on ne lâche rien ! -
@ volny DE PASCALE si $f$ lineaire continue bijective entre deux espaces de Banach alors la reciproque est continue.
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Aussi connu sous le nom de "théorème de l'application ouverte" (plus précisément, l'énoncé de sadfub est en un cas particulier). C'est un des "grands classiques" de l'analyse fonctionnelle (Hahn-Banach à coup de Zornette, Banach-Steinhaus, graphe fermé et application ouverte à coup de Bairette).
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Merci H (td) (en effet, j'avais oublié que c'était AUSSI un théorème de Banach)
Ce Stefan (Banach), quelle production... -
Ahhh ! La haine pour cette question... J'ai fait un truc merdique en occultant que T était linéaire, ce que j'ai montré une ligne au dessus !
Quel boulet... -
Dans la partie II, question 2, je suppose qu'il fallait majorer :
$\left|\prod_{j=0}^{N}\left(1+g_{j}(z)\right)-\exp\left(\sum_{j=0}^{+\infty}g_{j}(z)\right)\right|$
en utilisant la question précédente.
Il y avait le même genre de majoration à la première épreuve de l'Interne (un truc qui tend vers une exponentielle). Ca m'énerve, je ne trouve pas.
Comment fait-on ? y a un truc à factoriser, mais quoi ? -
Un coup de logarithme, puis utilisation de l'inégalité $\ln (1+x)\leq x$.
[size=small](edit : je croyais que c'était à propos de la question 1. (b), je suis bête !)[/size] -
Ben ça peut faire :
$\left|\prod_{j=0}^{N}\left(1+g_{j}(z)\right)-1\right|\leq\ln\left(\left|\prod_{j=0}^{N}\left(1+g_{j}(z)\right)-1\right|+1\right)\leq\ln\left(\prod_{j=0}^{N}\left(1+\left|g_{j}(z)\right|\right)\right)=\ln\left(\exp\left(...\right)\right)=\sum_{j=0}^{N}\left|g_{j}(z)\right|$
Mais ça ne me donne pas de convergence sur le membre de gauche...
? -
Je ne vois pas de preuve très simple. Voici ce que j'aurais fait.
Fixons $K$, un compact quelconque de $U$.
Une remarque : D'après 1.b), la suite $(\sup_{K} |G_N|)_N$ est bornée par un certain réel $M_K > 0$.
En effet
$$
\sup_{K} |G_N| \leq \exp\left(\sum_{j=0}^N \sup_{K} |G_j|\right) \leq \exp\left(\sum_{j=0}^\infty \sup_{K} |G_j|\right) <\infty
$$
Pour montrer la convergence uniforme de $(G_N)$ sur $K$, on utilise le critère de Cauchy uniforme.
Soit $p \in \Bbb N$. D'après 1.a) et 1.b), on peut écrire que pour $x \in K$ :
$$
|G_N(z) - G_{N+p}(z)| = |G_N(z)| \left|\prod_{j=N+1}^{N+p} (1+g_j(z))-1\right| \leq M_K \left[\exp\left(\sum_{j=N+1}^{N+p} |g_j(z)|\right)-1\right]
$$
Ainsi
$$
\sup_{K}|G_N - G_{N+p}| \leq M_K \exp\left[\left(\sum_{j=N+1}^{\infty} \sup_{K}|g_j|\right)-1\right]
$$
Cette majoration est uniforme en $p$ et tend vers $0$ lorsque $N \to \infty$. CQFD
Enfin pour justifier le caractère holomorphe de la limite, on peut invoquer le théorème de Morera. -
Erratum : au début, il faut lire
$$
\sup_{K} |G_N| \leq \exp\left(\sum_{j=0}^N \sup_{K} |g_j|\right) \leq \exp\left(\sum_{j=0}^\infty \sup_{K} |g_j|\right) <\infty
$$ -
Haaaaa super...
j'avais cherché en vain du côté du critère de Cauchy, sans voir qu'il y avait un lien avec la factorisation que j'ai également cherché en vain pour faire apparaître le - 1...
Merci ! -
De rien Je trouve que c'est assez dur à trouver quand on a déjà 1h30 de sujet dans les pattes. Dans un autre genre, je pense que c'était assez facile de passer à côté de la question II.1.a)
-
Pour celle là j'ai fait une récurrence avec un gros calcul bourrin comme je sais faire, avec pleins d'indices partout.
En fait au bout d'1h30 on marche au réflexe, je trouve, et c'est pour ça que pour la II.2 j'avais traduit Cauchy par un produit allant de N+1 à N+P, comme une somme quoi... -
Les indices sont durs à éviter pour la II.1.a). Le plus rapide était probablement de voir que le $-1$ se simplifie dans
$$
\prod_{j=0}^N (1+z_j) - 1 = 1 + \sum_{k=1}^N \prod_{0 \leq i_1 < \dots < i_k \leq N} z_{i_1}\dots z_{i_k} - 1\qquad(*)
$$
On applique alors l'identité triangulaire pour majorer le module du terme de gauche par une expression correspondant au terme de droite (sans les 1) où on a remplacé les $z_j$ par leur module. On peut alors "remonter" l'identité $(*)$ version $|z_j|$ pour obtenir $\prod_{j=0}^N (1+|z_j|) -1$ -
Si je pose $a*b=(1+a)(1+b)-1$, il n'est pas dur de voir que
- $*$ est associative
- $|a*b|\le |a|*|b|$ (en développant)
Le résultat est alors immédiat par récurrence. -
Bonjour à tous,
Pour les stats de présence : A Toulouse, environ 50% de présents (dans une des deux salles).
Peu de sorties précoces aussi sur les 2 journées ... -
On pouvait également faire une récurrence :
$\vert \displaystyle\prod_{j=0}^{N+1} (1+ z_j ) - 1 \vert = \vert (1 + z_{N+1})\displaystyle\prod_{j=0}^N (1+z_j ) - 1 \vert = \vert \displaystyle\prod_{j=0}^N (1+ z_j ) - 1 + z_{N+1} \displaystyle\prod_{j=0}^N (1 + z_j)\vert$
$ \le \vert \displaystyle\prod_{j=0}^N (1+ z_j ) - 1 \vert + \vert z_{N+1}\vert \displaystyle\prod_{j=0}^N (1 + \vert z_j \vert)\vert$
Et avec l'hypothèse de récurrence :
$ \le \displaystyle\prod_{j=0}^N (1+ \vert z_j \vert ) - 1 + \vert z_{N+1}\vert \displaystyle\prod_{j=0}^N (1 + \vert z_j \vert)\vert = (1+\vert z_{N+1} \vert)\displaystyle\prod_{j=0}^N (1+ \vert z_j \vert ) - 1 = \displaystyle\prod_{j=0}^{N+1} (1+ \vert z_j \vert ) - 1 $ -
euh... pouvait-on invoquer la convexité de l'exponentielle réelle (comme on travaille sur les modules uniquement) et donc tout simplement utiliser à cet effet et avec quelques précautions l'inégalité exp(x)> ou = x+1 ? (désolée je ne sais pas écrire plus proprement les formules ici), après coup ça ne me semble plus si évident...
Pour la II1.a et b, pas de difficultés particulières si on ne s souvenait plus des bons aruguments, juste mener des calculs un peu laborieux dans le bon sens... et la somme demandée est partielle ! -
@Siméon : merci c'est ce que j'ai fait (critère de Cauchy uniforme) :-D...Je me suis rappellé les conseils de mon prof de taupe m : "Cauchy c'est bien pour les puissances et les produits". Par contre, j'ai énoncé le théorème de Morera, sans citer son nom...
@banban : à moi aussi la récurrence m'a paru plus simple
@mathematifun : ben oui l'argument de convexité de l'exponentielle réelle est valable
@H et @nono : aaaaaargh!... je suis aussi passé à coté de l'application ouverte...c'était pourtant si simple... -
@ tchoc : merci, mais c'est vrai que j'ai eu un léger doute après coup, tellement ça m'avait semblé plus simple et direct que les autres arguments évoqués... mais il est toujours possible de ne pas voir une subtilité, surtout au milieu de tant d'heures d'épreuves...
-
Bonsoir
Il suffit de remarquer qu'il existe $ P\in \C[X_0,\ldots ,X_N]$ , $P(0,\ldots ,0)=0$ tel que
$\displaystyle \prod_{j=0}^N (1+z_ j) =1+P(z_0,\ldots ,z_N)$ et $\displaystyle \prod_{j=0}^N (1+\vert z_ j \vert) =1+P(\vert z_0 \vert,\ldots ,\vert z_N \vert) $ et $ \vert P(z_0,\ldots ,z_N)\vert \leq P(\vert z_0 \vert,\ldots ,\vert z_N \vert) $ -
Le sujet semble plutôt intéressant, j'y ai jeté un coup d'œil hier soir. J'ai traité le sujet dans ses grandes lignes, même s'il reste quelques questions qui me résistent encore. Je regrette presque de ne pas avoir passé l'agrégation cette année, le sujet d'analyse de l'année dernière n'était pas particulièrement intéressant (beaucoup d'études d'exemples).
J'aurais bien aimé en savoir un peu plus sur le théorème de Clarkson-Erdös ainsi que sur l'exemple de Newman (de ce que je sais il est assez difficile de trouver des sous espaces fermés qui ne soient pas complémentés, l'exemple le plus célèbre étant le cas de $c_0$ dans $l_\infty$, mais il en existe d'autres comme $H^1$ dans $L^1$ (références pour la preuve ?)). -
Dans la partie 4, On remarque que C([0,1]) muni de la norme de la convergence uniforme est un espace de Banach. Les questions 1a et 1b permettent d'appliquer le théorème de Banach Steinhaus et on a directement la réponse à 1c!!
Sujet sympathique mais un peu long...
Je me suis arrêté là... -
Tu t'es arrêté là... ??? comment t'as fais pour faire les 3 premières parties??? Moi j'ai du répondre à 13 ou 14 questions maximums
-
@jpmjpmjpm : effectivement
$ P\in \N[X_0,\ldots ,X_N]$ , $P(0,\ldots ,0)=0$ tel que
$\displaystyle \prod_{j=0}^N (1+z_ j) =1+P(z_0,\ldots ,z_N)$ et $\displaystyle \prod_{j=0}^N (1+\vert z_ j \vert) =1+P(\vert z_0 \vert,\ldots ,\vert z_N \vert) $ et $ \vert P(z_0,\ldots ,z_N)\vert \leq P(\vert z_0 \vert,\ldots ,\vert z_N \vert) $ -
@ Gman
J'ai sauté quelques questions bien sur!!!
Dans ce sujet, je pense qu'on pouvait bien avancer, il y avait beaucoup de questions de cours ou de questions purement technique.
Résultat en juin.
Bonne chance à tous. -
Quelques éléments de correction pour les deux premières parties... avec risque d'erreurs.
Si vous en détectez, vos corrections seront les bienvenues!
-
lolomath écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,827076,827756#msg-827756
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Dans la suite de la partie 4, le 2°) est l'exo classique où il faut montrer que le boule unité (fermée) est compacte. On utilise Ascoli (l'équicontinuité est vue par 1°c). Puis un esp. vect avec une boule unité compacte est de dim finie (par le Thm de Riesz). Deux gros thm du cours !!
En plus précis avec une majoration de la dim ds Queffelec-Zuily exo 13 p178
Par contre pas vu le 3°) c et d puis le 4°).
Bien sûr pas fait cela le jour de l'exam
Suite vue pour la partie 4. Qui est vraiment bien chargée en thm. d'Analyse Fonctionnelle de Banach-Steinhaus à Hahn-Banach en passant par Ascoli. Plus la fin avec l'impossibilité d'injecter [0,1] (puissance du continu) dans N (dénombrable).
La partie 5 avec les projecteurs passe bien jusqu'au 2°b) le c) ?
Pour la partie 6 1°, cela ressemble à inégalité de Bernstein , à faire direct ?!
Bruno
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