Densité de fonctions de classe C1

poltaj
poltaj
dans Analyse
Bonsoir,
Munissons $E=C_b(\mathbb{R},\mathbb{R}) $ (espace des fonctions continues bornées sur $\mathbb{R}$) de la norme infinie $||.||_{\infty}$.
Est-ce que l'espace des fonctions de classe $C^1$ bornées est dense dans $E$?
J'ai essayé d'exploiter le théorème de Weierstrass, mais le problème c'est qu'une fonction continue peut avoir beaucoup de points de non dérivabilité.

Réponses

  • h
    h
    Au pire on doit pouvoir approcher par une fonction sympa sur tous les $[n,n+1]$ puis recoller (pas sympa mais pas démoniaque non plus) les bords. Non ?
  • h
    h
    On peut aussi commencer par se donner une famille $(\phi_n)_n$ de fonctions $C^1$ où chaque $\phi_n$ est à support dans $[n-1,n+1}$ et où la somme des $\phi_n$ est constante égale à $1$ (et où elles sont positives aussi tant qu'à faire).
  • poltaj
    poltaj
    J'avais pensé à faire ça, mais le problème c'est qu'il y a une infinité de tels segments, donc je n'ai pas réussi à faire un truc propre.
    Je n'ai pas compris l'utilité de la suite de fonctions de ton 2eme message...?
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    La limite uniforme d'une suite de fonctions $C^1$ est au moins continue, donc il n'y a aucune chance que ce soit dense dans $C_b(\mathbb{R},\mathbb{R})$ ...

    EDIT: je n'avais pas vu que $C_b(\mathbb{R},\mathbb{R})$ consistait uniquement de fonctions continues ! Message à oublier donc.
  • h
    h
    1) Qu'il y ait une infinité de segments n'est pas une difficulté : le recollement est local. Pour tout $n$, tu te places sur un truc du style $[n-\eta,n+\eta]$ pour un petit $\eta$.

    2) Si pour tout $n$ on a, pour tout $x$ dans $[n-1,n+1], |\psi_n(x)-f(x)| \le \epsilon$, tu peux considérer la fonction $\sum \phi_n \psi_n$.
  • poltaj
    poltaj
    Merci H, bien vu.
  • h
    h
    poltaj a écrit:
    bien vu

    Ou plutôt, déjà vu :) Par exemple :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_de_l'unité
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français