Partages d'un quadrilatère
Bonjour,
Voici quelques questions relatives aux quadrilatères.
1. Soit P un point à l'intérieur d'un quadrilatère. Montrer qu'il existe un segment de droite passant par ce point etqui partage le quadrilatère en deux parcelles d'aires égales.
( j'en ai trouvé une merveilleuse démonstration etc.)
2.J'appelle diamètre (ou médiane?) du quadrilatère tout segment qui le partage en deux parcelles d'aires égales. Les diamètres sont-ils tous concourants? Si oui, caractériser le point de concours.
(résolu)
3. En général le centre de gravité d'un quadrilatère et l'isobarycentre de ses sommets sont deux points distincts. Quelle est une condition nécessaire et suffisante pour qu'ils soient confondus? (résolu)
4. On veut partager un quadrilatère ABCD en deux parcelles ABPD et BCDP. quel est l'ensemble des points P , solutions de ce partage?(résolu)
(Ce n'est pas pour un DM URGENT!!!!)
Amicalement. jacquot
Voici quelques questions relatives aux quadrilatères.
1. Soit P un point à l'intérieur d'un quadrilatère. Montrer qu'il existe un segment de droite passant par ce point etqui partage le quadrilatère en deux parcelles d'aires égales.
( j'en ai trouvé une merveilleuse démonstration etc.)
2.J'appelle diamètre (ou médiane?) du quadrilatère tout segment qui le partage en deux parcelles d'aires égales. Les diamètres sont-ils tous concourants? Si oui, caractériser le point de concours.
(résolu)
3. En général le centre de gravité d'un quadrilatère et l'isobarycentre de ses sommets sont deux points distincts. Quelle est une condition nécessaire et suffisante pour qu'ils soient confondus? (résolu)
4. On veut partager un quadrilatère ABCD en deux parcelles ABPD et BCDP. quel est l'ensemble des points P , solutions de ce partage?(résolu)
(Ce n'est pas pour un DM URGENT!!!!)

Amicalement. jacquot
Réponses
-
Bonjour jacquot,
Est-ce que ton quadrilatère est convexe ? Il est nécessairement non croisé, pour qu'on puissse en définir l'intérieur. S'il n'est pas convexe, il y a des situations conflicuelles.
Le fait de dire :
"Montrer qu'il existe un segment de droite passant par ce point et qui partage le quadrilatère en deux parcelles d'aires égales. "
laisse supposer que la convexité est implicitement acceptée.
Si c'est la cas, il vaut mieux le dire.
Amicalement,
zephir. -
Bonjour zephir,
Je ne me suis posé la question de la non-convexité qu'après avoir posté. Je crois que certaines réponses ne seront pas affectées par la non-convexité.
Mais je veux bien restreindre mes questions aux quadrilatères convexes dans un premier temps.Quitte à y revenir plus tard.
Je n'aime pas trop les quadrilatères croisés notamment quand il faut calculer des aires...
Merci pour ta demande de précision(s). jacquot -
Bonjour à tous les deux,
Sauf erreur le 1 est vrai pour des formes beaucoup plus compliquées qu'un quadrilatère, et même pour tout ensemble mesurable de mesure finie non nulle. La preuve est classique, comme pour le théorème du sandwich au jambon. Le 2 est faux pour un quadrilatère croisé bien choisi, et il me semble que c'est faux aussi pour un quadrilatère non croisé non convexe. -
Salut eggoroffski,
A te lire, nous tenons la même démonstration pour la première question.
Je pose la deuxième question pour un quadrilatère convexe, quoique...
@ bientôt. -
Il n'y a qu'à essayer un trapèze isocèle. Le diamètre, dans le cas où il coupe les deux bases, a une équation explicite simple.
-
Bonjour à tous,
Voici ma solution pour la première question:
On modélise le problème de la façon suivante: -
(tu)Toto pour le TVI. Je pense que c'est la solution qu'évoquait eggoroffski
Pour 2, aussi, il y aune solution presque sans calcul. -
Un peptit up:
Seule la première question a été résolue...
Que vous inspirent les suivantes?
Amicalement. jacquot -
Salut Jacquot et tous les autres ,
une petite intervention pour pas grand chose
Jacquot , dans ton premier message tu annonces que tes exercices sont résolus , je ne suis pas aller voir plus loin
Domi -
0. Je pense pas que dans une question concernant les aires il convienne de considérer les quadrilatères croisés, mais plutôt les quadrilatères simples, dont les segments-côtés ne se recoupent pas ailleurs qu'aux sommets. L'aire d'un quadrilatère non simple n'est pas clairement définie.
1. Pour désigner les segments en question, je n'aime ni "diamètre" ni "médiane", qui ont déjà un sens. Je n'ai pas trop d'idée pour leur trouver une appellation. Pourquoi pas "équi-partageurs" (ouh, quel vilain nom).
2. Les segments "équi-partageurs" ne sont pas concourants. Pour s'en assurer, étudier le cas d'un triangle, qui après tout est un quadrilatère comme les autres. Si mes souvenirs sont exacts, ils enveloppent des arcs d'hyperboles.
3. Je présume que par "centre de gravité d'un quadrilatère" $ABCD$, on désigne le centre de gravité (resp. d'inertie) de la plaque quadrilatérale, qui est la portion de plan bornée délimitée par ce quadrilatère, supposée homogène, et ce point pourrait être dénommé "centre de gravité aréolaire".
Soit donc un quadrilatère simple $ABCD$. Soient $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$ les centres de gravités respectifs des triangles $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$.
Pour le triangle, le centre de gravité "aréolaire" est confondu avec le centre de gravité des sommets, car ces points sont tous deux sur les trois axes de symétrie obliques que sont les médianes.
Le centre de gravité "aréolaire" $P$ de notre quadrilatère $ABCD$ est donc sur les droites $A^{\prime } C^{\prime }$ et $B^{\prime } D^{\prime }$. Par ailleurs, le centre de gravité $G$ des quatre sommets de notre quadrilatère $ABCD$ est sur les droites $AA^{\prime }$, $BB^{\prime }$, $CC^{\prime }$, $D D^{\prime }$. Si les points $P$ et $G$ sont confondus, alors les points $A,C,A^{\prime }, C^{\prime }$ sont alignés, ainsi que $B, D, B^{\prime }, D^{\prime }$. Je pense qu'on peut en déduire que $ABCD$ est un parallélogramme, mais là je n'ai plus le temps, je dois me rendre Avenue de la Grande Armée, comme vous pouvez le penser.
Bonne fin de dimanche.
RC -
Les souvenirs de Raymond sont bons.
Les segments joignant un point de $\left[ AB\right] $ à un point de $\left[ CD\right] $ et tangents à la branche d'hyperbole dessinée vont tous partager le quadrilatère $ABCD$ en deux parties ayant des aires égales (et ce ne sont pas les seuls)
Cordialement. Poulbot
PS : Ce sont effectivement les parallélogrammes qui sont les solutions de la question 3. -
Tu n'aimes donc pas les "équi-partageurs", Raymond, dont acte
Par ailleurs, tu as magistralement résolu les questions 2 et 3.
Pour la question 2, (dont je ne connaissais pas la solution au moment de poster), j'ai eu recours à la même réflexion que toi:
"étudier le cas d'un triangle, qui après tout est un quadrilatère comme les autres" -
4) Je tente le coup : le lieu de $P$ est la trace sur le quadrilatère de la parallèle à $(BD)$ passant par le milieu de $[AC]$ ?
-
(tu) Bien vu, eggoroffski !
En deux temps:
1) le milieu de [AC] convient.
2) comment peut-on déplacer le point P en gardant l'égalité des aires. -
Oui, j'ai fait plutôt 2 puis 1, en constatant d'abord que l'aire est une fonction linéaire de la somme des coordonnées de $P$ dans le repère $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$,
-
Bonsoir me v'la de retour, j'ai eu plus de chance que Mme Boutin que j'ai vue étendue sur le trottoir de la rue Arsène Houssaye.
Ma solution pour la question 3 ne nécessitait qu'une phrase de plus que je n'ai pas eu le temps d'ajouter ce matin. Voir les notations dans mon précédent message. J'ai dit que les points $A,C,A^{\prime }, C^{\prime },G$ sont alignés, ainsi que $B, D, B^{\prime }, D^{\prime },G$. Ces deux droites se coupent donc en $G$. La droite $B D^{\prime }$ par exemple est la médiane du triangle $ABC$ relative au sommet $B$, et le point $G$, qui est son intersection avec $AC$, est donc le milieu de $AC$, et il est de même le milieu de $BD$, et $ABCD$ est un parallélogramme.
Bonne soirée.
RC -
Merci Raymond pour la finalisation de cette autre démonstration (tu)
-
Mieux vaut tard que jamais, je rappelle le théorème de Wittenbauer, qui donne une belle caractérisation géométrique du centre de gravité aréolaire d'un quadrilatère. À savoir s'il serait utile ici...
Bonne journée.
RC -
-
Je ne connaissais pas ce théorème de Wittenbauer qui me conforte dans l'idée qu'on peut faire de la belle géométrie à tous les niveaux .
Merci Raymond
Domi -
Bonjour;
J'a un soucis de résoudre un exercice concernant le quadrilatère ABCD quelconque. La question était de prouver que G centre de gravité est unique et que GA+GB+GC+GD=O (tout en vecteur)
Merc d'avance -
Un quadrilatère a trois centres de masse (cm.) :
(1) s0: cm. sommets,
(2) s1: cm. côtés,
(3) s3: cm surface.
Lequel te demande-t-on ?
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Bonjour!
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