Le théorème du toit
Bonsoir,
Ma question est simple: pourquoi cette lubie avec le théorème du toit dans les programmes de lycée ?
Je garde ma question volontairement vague afin de récolter le maximum d'avis possible sur la question.
Ma question est simple: pourquoi cette lubie avec le théorème du toit dans les programmes de lycée ?
Je garde ma question volontairement vague afin de récolter le maximum d'avis possible sur la question.
Réponses
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Lubie? heuuu... la plupart des enseignants ne le traite pas en seconde et il n'y a de géométrie dans l'espace ailleurs si ce n'est en TS. Et le théorème n'est mentionné que dans la rubrique commentaire "Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème dit « du toit »". J'ai du mal à voir le problème.
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Bonsoir afk,
Comme tu le dis, ce théorème apparaît à la fois dans les programmes de Seconde et de Terminale S, signe que les concepteurs du programme tiennent vraiment à ce que ce théorème soit vu. La démonstration de ce théorème est même une exigence en Terminale S (ROC) (le considèrent-ils commeun théorème essentiel de la géométrie dans l'espace ?).
Personnellement, je pense que valoriser autant ce théorème est une lubie:
- Pourquoi plus ce théorème-ci qu'un des autres théorèmes sur le parallélisme dans l'espace ? (autres théorèmes dont il n'est fait aucune mention explicite dans le programme mais qu'on retrouve dans la plupart des manuels)
- L'importance de ce résultat me semble peu en rapport avec l'importance qu'on lui donne dans le programme. -
Peut-être que certains sont nostalgiques des années 80 et d’Elli Medeiros.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Là je dis stop. On peut rire de beaucoup de choses, mais pas des années 80.
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Même pas de ça ?
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Quand j'étais à l'IUFM, en 2001, une formatrice s'était mis en tête qu'il fallait tout démontrer en géométrie dans l'espace, le théorème du toit étant l'apothéose de son cours (elle en était folle).
Ca me laissait perplexe à l'époque, et ça me laisse encore perplexe aujourd'hui. Pour tout dire, je suis agacé de voir apparaître ce théorème (anecdotique à mon sens) dans les "exigés" du programme. -
Je me doutais bien de ce que désignait cette expression "théorème du toit". Une démonstration élémentaire consiste à dire :
La droite $d$ est parallèle au plan $P$, donc si $M$ est un point de $P$, le plan $P$ contient la parallèle à $d$ passant par $M$. Bien entendu, tout ceci est valable pour $M' \in P'$. Par conséquent, puisque $P$ et $P'$ sont sécants on spécifie $M$ comme un point d'intersection de ces deux plans soit $A$ et on applique le postulat d'Euclide ce qui prouve que la parallèle à $d$ passant par $A$ est la droite d'intersection des deux plans.
Pas besoin de "raisonnement par l'absurde" comme dans l'horreur jointe
.
Bruno -
C'est une trivialité du point de vue vectoriel : si deux plans (vectoriels) distincts contiennent une même droite (vectorielle), leur droite intersection aussi.
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Dire que $d$ est parallèle à $P$ et $P'$, c'est dire que son vecteur directeur appartient aux plans directeurs de $P$ et $P'$, et donc (c'est ce que j'affirme) à leur intersection.
L'intersection de $P$ et $P'$ étant une droite, on en déduit qu'elle est dirigée par le vecteur directeur de $d$. -
Ci-dessus, je parle du vecteur directeur comme s'il n'y en avait qu'un seul mais ce n'est bien sûr pas le cas. Le mieux serait de parler de droite (vetorielle) directrice, mais je pense que mon abus de langage ne devrait pas poser trop de problèmes.
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Je n'avais pas prêté attention à la "démonstration par l'absurde" jusque là. Quelque chose m'inquiète : on dirait que pour l'auteur, si on se donne deux droites dans l'espace :
- soit elles sont parallèles
- soit elles s'intersectent -
Siméon,
tu fais ça en seconde ?
Cordialement.
NB : Tout théorème est évident dans une théorie qui l'englobe. -
Siméon, lis les notations.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
@nicolas.patrois : j'ai lu. En fait la démonstration est correcte parce que les droites non parallèles que l'auteur considère sont coplanaire. Ce qui me gêne beaucoup, c'est Le principe
@gerard0 : Je n'enseigne pas au lycée, mon message n'était pas dans cette optique. En quelle classe aborde-t-on les vecteurs et la géométrie dans l'espace maintenant ? -
Je n'ai jamais entendu parler de ce théorème!
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Bonjour,
Toto, la démonstration du théorème du toit n'est justement pas exigible. Seules les démonstrations indiquées, dans la colonne "capacités attendues" sont exigibles. Comme l'a rappelé afk, la démonstration du toit, est dans la colonne commentaires : "il est interessant de ..." sans plus.
Bien cordialement. -
Siméon écrivait:
>...
> @gerard0 : Je n'enseigne pas au lycée, mon message
> n'était pas dans cette optique. En quelle classe
> aborde-t-on les vecteurs et la géométrie dans
> l'espace maintenant ?
On rencontre de la géométrie dans l'espace en collège, sans démonstration. Les vecteurs sont vus en seconde.
Ma remarque venait du caractère hors sujet de ta "preuve", car la géométrie affine n'est enseignée qu'en supérieur. En collège et lycée, il n'y a aucune axiomatique précise de la géométrie dans l'espace (et ce, depuis longtemps), seulement la rencontre de propriétés "classiques".
Cordialement. -
blitz a écrit:Toto, la démonstration du théorème du toit n'est justement pas exigible. Seules les démonstrations indiquées, dans la colonne "capacités attendues" sont exigibles.
Bonjour blitz,
Malheureusement, la situation n'est pas aussi simple j'ai l'impression. Voici ce qu'on peut voir dans le préambule du programme officiel: -
Encore une fois, j'ai beau trouver plein de défauts aux programmes je ne vois pas où est le problème.
Ce qu'indique le symbole c'est que le théorème du toit peut servir de "modèle de démonstration" en géométrie. Le "Il est intéressant de ... " indique clairement que cette démonstration n'est pas exigible. Tu peux tout aussi bien choisir de démontrer un autre théorème de géométrie du moment que les élèves ont un modèle de démonstration.
A l'opposé, la démonstration de $\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ si $q >1$ sert à la fois de "modèle de démonstration" (récurrence pour montrer la minoration $1+nq$ puis, utilisation du théorème de comparaison) et est exigible. -
Dans la mesure où il n'est pas dans la colonne Compétences attendues, il n'est a priori par exigible au bac.
Ce qui est drôle, c'est d'une part que ce il est intéressant de... se trouve dans le programme dans le chapitre Géométrie vectorielle donc on nous incite apparemment à en donner une preuve utilisant les vecteurs alors que j'ai l'impression que la plupart des gens et des bouquins mettent ce théorème dans un chapitre ou un paragraphe de géométrie non vectorielle. D'autre part, on parle du théorème du toit comme si tout le monde s'entendait sur ce que cela désigne alors que dans mon lycée, le manuel de 2nde (transmath) et le manuel de TS (Indice) appelle théorème du toit deux énoncés différents... -
Le souci, afk, c'est que ce théorème est beaucoup moins important que ce qu'ils nous laissent entendre et vouloir enseigner la démonstration aux élèves en considérant qu'elle fait partie des démonstrations "modèle" me semble être un délire des gens qui font les programmes.
En attendant, on passe à la trappe des choses beaucoup plus importantes en géométrie dans l'espace, comme la notion de produit vectoriel, la notion de barycentre etc... -
La géométrie, c'est ringard. Il faut remplir des tableaux Excel avec des séries statistiques, c'est bien plus motivant pour les élèves.
</recommandations officielles> -
Voilà ce que voudrait le programme de TS!!!
Soit $D_1$ et $D_2$ deux droites parallèles contenues respectivement dans deux plans sécants $P_1$ et $P_2$ de droite d'intersection $D$.
Notons $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs directeurs de $D_1$ et $D$ respectivement.
Soit également $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ tels que $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v_1})$ et $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v_2})$ soient des bases respectives de $\overrightarrow{P_1}$ et $\overrightarrow{P_2}$.
Alors il existe $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v_1}=c\overrightarrow{u}+d\overrightarrow{v_2}$.
En particulier, si $b \neq 0$ et $d \neq 0$ , $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ sont coplanaires : absurde.
Donc $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires. -
@gai requin: oui, c'est ce que j'avais écrit là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,824675,824747#msg-824747 (avec juste un peu de vocabulaire)
-
je sais pas c'est quoi ce théorème du toit.
Cette proposition n'est pas de moi.
Fête votre choix.
S -
@Simeon.
Mais c'est difficile de dire à des lycéens que $\overrightarrow{u} \in \overrightarrow{P_1}$ et $\overrightarrow{P_2}$ donc $\overrightarrow{u} \in \overrightarrow{P_1} \cap \overrightarrow{P_2}$... -
sécantes ou pas gai requin ?
S -
A,F,G et D sont coplanaires donc tes droites sont sécantes en I.
D'après le théorème du toit, l'intersection de (ABF) et de (GCD) est la parallèle à (AE) passant par I.
Cette dernière droite passe également par l'intersection de (EF) et de (GH), et aussi par celle de (EB) et de (HC).
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Bonjour!
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