Géométrie et théorie des groupes

Bonjour,

Je lis régulièrement que la théorie des groupes, a des interprétations très concrètes en géométrie, voire même que c'est une abstraction des opérations géométriques classiques. Cependant, on m'a toujours présenté les groupes de façon abstraite (et au final j'ai bien aimé), et la seule incartade géométrique dans mon cours de M1 d'algèbre est une demie page bâclée sur le groupe diédral.

Auriez-vous un ouvrage à me conseiller (de préférence publié, sinon en pdf) qui présente la théorie des groupes sous cet angle géométrique ?

Réponses

  • Au départ, on parlait de groupe de transformations d'un objet géométrique, et puis la théorie des groupes en tant qu'objets d'étude en eux-mêmes, s'est développée. La notion à approfondir, mais que tu as du voir dans tes cours quand même, est celle d'action d'un groupe sur un ensemble.

    Les livres de Lombardi http://books.google.fr/books?id=RylgAp8n1nQC&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false et de Mercier http://books.google.fr/books?id=8U82oFeAPNgC&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false sont tout à fait recommendables.
  • Sans répondre directement à la question posée, on peut aussi se souvenir que les courbes elliptiques sont des objets géométriques parfaitement compatibles avec les lois de groupe.
  • Merci pour cette réponse ptolémee ! Et oui, effectivement, on parle de groupe opérant sur un ensemble, mais malheureusement, très peu de traduction géométrique...
  • Je crois que c'est Galois qui a le premier introduit le mot "groupe" en parlant du "groupe des substitutions des racines d'un polynôme", "substitutions" qu'on appelle désormais "permutations".
  • Cependant, on m'a toujours présenté les groupes de façon abstraite

    On ne t'a jamais parlé de $\Z, \R, GL_n(\R), O_n(\R), ...$ !?

    Je suis sûr que si. Par contre on t'en a sans doute parlé de manière tellement concrète (via leurs actions de groupes naturels pour les deux derniers) que l'aspect "groupe" n'était pas mis en avant, même si le vocabulaire était là (classe de conjugaison, nilpontence, commutativité, ...).
  • Sans compter le groupe des isométries d'un cube, d'un icosaèdre etc etc... Il y a aussi la géométrie projective, avec les $PGL(n,q)$. Le cours d'Algèbre de Perrin traite d'aspects variés des groupes associés à une forme quadratique. Il y a aussi le groupe du Rubik's cube (on peut trouver des documents sur le oueb).

    Enfin, il y a plein de choses dans les tomes 1 et 2 de "Groupes, algèbre et géométrie" d'Arnaudiès et Bertin.
  • Sans parler du groupe le plus facile, connu depuis l'enfance, à savoir $\Z /12 \Z$ (mieux connu aussi sous le nom d'horloge parfois).
  • Il y a le livre de Michel Alessandri : "Thèmes de géométrie. Groupes en situation géométrique", mais il est assez difficile à trouver.
    http://www.decitre.fr/livres/themes-de-geometrie-9782100045563.html

    Cordialement,
    Jean-Yves Degos
  • Il y a aussi les groupes de frises et de pavages faits dans le tome de géométrie de Tauvel (attention aux coquilles) mais la lecture est difficile.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
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