Transposée et valeurs propres ...

Bonsoir,

Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ et ${}^tf\in\mathcal{L}(E^*)$ ($E$ étant de dimension finie). Comment peut-on prouver que le spectre de $f$ est le même que celui de ${}^tf$ (sans utiliser les matrices) ? Par exemple, si $\Phi:E\to E^*$ est un isomorphisme, ai-je le droit d'utiliser le fait que ${}^tf=\Phi\circ f\circ\Phi^{-1}$ ? Y a-t-il un autre moyen, en particulier avec la dualité ?

Merci pour vos réponses.

Réponses

  • ai-je le droit

    Que veux-tu dire ?
  • Pourquoi ne voudrais-tu pas utiliser les matrices ?
  • Bonsoir H,

    Est-il légitime d'utiliser $\Phi$, sachant qu'un tel isomorphisme n'est pas canonique ? Il me semble que oui, mais ...

    Y aurait-il un autre moyen et si oui, lequel ?

    Merci !!
  • Bonsoir Toto le zero,

    C'est une consigne, c'est tout.

    Merci !!
  • Et puis, que ferais-tu avec les matrices ? :)

    Tu peux toujours essayer d'utiliser les représentations matricielles pour trouver une preuve qui s'écrit sans matrice. Tiens que dire de $ ^tf(\phi)(x)$ si $f(x)=0$ et si $\phi$ est une forme linéaire ?
  • @pipeau : d'où vient l'isomorphisme dont tu parles ? Ça m'a l'air très louche :)

    Si mes souvenirs sont bons, il existe un tel isomorphisme, mais on l'obtient par des arguments un peu obscure. Par ailleurs, si je ne suis pas trop fatigué, c'est clairement faux pour la plupart des isomorphismes.
  • H a écrit:
    Et puis, que ferais-tu avec les matrices ?

    On dirait que $dét(M-\lambda I_n) = dét(^t (M-\lambda I_n) )= dét(^tM-\lambda I_n)$ ce qui prouverait que $\lambda$ est une valeur propre de $M$ si, et seulement si, c'est une valeur propre de $^t M$...
  • Effectivement on dirait cela :) Bizarrement je l'avais éliminé en passant que quelque part avec cette stratégie on utilisait des résultats sur la transposition du genre de celui que l'on veut prouver mais ce n'est pas le cas.
  • Soient $(e_i)$ une base de $E$ et $(e_i^*)$ la base duale de $E^*$. Un tel isomorphisme serait donc défini par $e_i^*=\Phi(e_i)$ pour tout $i$ (grossièrement !). Pour répondre à ta question, il me semble que ${}^tf(\phi)(x)=0$.

    Merci
  • Bonsoir,

    Quitte à considérer $f - \lambda id$, pour tout $\lambda$, il suffit de montrer que le rang de $f$ et de sa transposée sont les mêmes. Une forme linéaire $l$ est dans le noyau de ${}^t f$ si et seulement si l'image de $f$ est dans le noyau de $l$. Si $f$ est de rang $k$, on considère une base $f_1,\dots,f_k$ de son image. Ainsi, le noyau de ${}^t f$ est l'ensemble des formes linéaires $l$ vérifiant les $k$ équations linéaires indépendantes $l(f_i) = 0$ (attention, ce sont des équations d'inconnue $l$ ; tu peux voir ces équations dans le bidual). Donc il est de codimension $k$, tout comme le noyau de $f$ par le théorème du rang.

    Remarque : si tu veux simplement montrer que les spectres sont les mêmes (sans regarder les multiplicités), la preuve se simplifie. En effet, il suffit de montrer que $f$ est bijective si et seulement si ${}^t f$ l'est. C'est évident : si $f$ est bijective d'inverse $g$, ${}^t g$ est l'inverse de ${}^t f$.
  • Bonjour cannibal_jack,

    Le fait que $\dim\ker(f-\lambda\mathrm{id}_E)=\dim\ker({}^tf-\lambda\mathrm{id}_{E^*})$ fait l'objet de la question suivante.
    il suffit de montrer que $f$ est bijective si et seulement si ${}^t f$ l'est. C'est évident : si $f$ est bijective d'inverse $g$, ${}^t g$ est l'inverse de ${}^t f$.

    Là, je ne comprends pas ! Y aurait-il un moyen en utilisant la relation fondamentale $<x,{}^tf(u^*)>=<f(x),u^*>$ ?

    Merci
  • Un tel isomorphisme serait donc défini par $ e_i^*=\Phi(e_i)$ pour tout $ i$ (grossièrement !).

    Et pour le lien $ {}^tf=\Phi\circ f\circ\Phi^{-1}$ !?

    Pour ta dernière question : quelle est la transposée d'une composée ?
  • Bonjour H,

    Pour $x$ arbitrairement choisi dans $E$, notons $x^*=\Phi(x)$. C'est ainsi que \begin{align*}
    {}^tf(x^*)=&\left(\Phi\circ f\circ\Phi^{-1}\right)(x^*)\\
    =&\Phi\left(f\left(\Phi^{-1}\left(\Phi(x)\right)\right)\right)\\
    =&\Phi\left(f\left(x\right)\right)
    \end{align*} Maintenant, si $\lambda$ est une valeur propre, $E(\lambda)$ l'espace propre associé et $x\in E(\lambda)$, alors \begin{equation*}
    {}^tf(x^*)=\Phi\left(f\left(x\right)\right)=\Phi\left(\lambda\,x\right)=\lambda\,\Phi(x)=\lambda\,x^*
    \end{equation*} Y a-t-il un problème avec ce $\Phi$ ? Si oui, lequel ?
    Pour ta question ${}^t(f\circ g)={}^tg\circ{}^tf$. Où veux-tu en venir ?

    Merci
  • $\displaystyle \newline {}^tf(x^*)=\displaystyle \left(\Phi\circ f\circ\Phi^{-1}\right)(x^*)$ ?
  • H,

    Ce que j'ai écrit ne te convient-il pas ? Je ne vois pas où tu veux en venir ! Si tu pouvais être largement plus explicite, cela me serait plus profitable.

    Merci
  • Cher pipeau,

    1) Tu veux montrer que le spectre de $f$ et de sa transposée sont les mêmes. Cela revient à dire que $f - \lambda id_E$ est bijective si et seulement si ${}^t f - \lambda id_{E^\ast}$ l'est. Comme ${}^t f - \lambda id_{E^\ast} = {}^t (f - \lambda id_E)$, il suffit de montrer que pour tout endomorphisme $g$, $g$ est bijective ssi sa transposée l'est (on applique ensuite à $g = f - \lambda id_E)$.

    2) Gardant les notations précédentes, on montre donc que $f$ est bijective ssi sa transposée l'est. Mais $f$ est bijective ssi il existe $g$ tel que $f \circ g = g \circ f = id_E$. En transposant ces relations, on obtient ${}^t g \circ {}^t f = {}^t f \circ {}^t g = id_{E^\ast}$. Donc ${}^t f$ est inversible d'inverse ${}^t g$.

    3) Tu parles d'un isomorphisme $\phi : E \rightarrow E^\ast$. Bien sûr un tel isomorphisme existe mais il n'y en a aucun de canonique. En général, quand on utilise des choses non canoniques, il faut se méfier. L'égalité que tu donnes, à savoir ${}^t f = \phi \circ f \circ \phi^{-1}$, est fausse en général. Pour le voir, considère une base $(e_i)$ de $E$ telle que la matrice $M$ de $f$ dans cette base soit non symétrique (une telle base existe pour la plupart des $f$). Considère l'isomorphisme $\phi$ envoyant cette base sur sa base duale. Alors la matrice de $\phi \circ f \circ \phi^{-1}$ dans la base duale $(e_i)^\ast$ est aussi la matrice $M$. Mais la matrice de ${}^t f$ dans la base duale est ${}^t M$.

    Amitiés
  • Si tu pouvais être largement plus explicite, cela me serait plus profitable

    Je ne crois pas. Je crois que ce qui te serait profitable serait d'être plus rigoureux et d'essayer de faire des preuves. Quand on affirme des choses sans preuves, on peut s'atteindre à avoir des soucis :)
  • Bonsoir,

    Merci beaucoup car je viens enfin de comprendre. Je te remercie cannibal_jack pour tes explications assez pertinentes.

    Merci !!!
  • Bonjour,

    Je reviens afin d'avoir une précision. En dimensions finies, les e.v. $\mathcal{L}(E)$ et $\mathcal{L}(E^*)$ ne sont-il pas isomorphes ? De même, les e.v. $\mathcal{L}(E)$ et $\mathcal{L}(E^{**})$ ne sont-il pas isomorphes canoniquement ? N'y aurait-il donc pas une possibilité en utilisant ces propriétés ?

    Merci
  • Bonsoir,

    Les espaces d'endomorphismes $\mathcal{L}(E)$ et $\mathcal{L}(E^\ast)$ sont isomorphes en dimension finie, et ce, canoniquement.

    Deux façons de le voir :
    1) Si tu es à l'aise avec les produits tensoriels, on écrit que $\mathcal{L}(E) = E^\ast \otimes E$ et $\mathcal{L}(E^\ast) = (E^\ast)^\ast \otimes E^\ast = E \otimes E^\ast = E^\ast \otimes E$.
    2) Mais vu les questions autour desquelles tu tournes, le plus simple est sans doute de dire que l'application qui à $f$ associe ${}^t f$ est un isomorphisme entre ces espaces.

    Evidemment les égalités que j'écris dans le 1) sont des isomorphismes canoniques et la composition de ces isomorphismes est exactement l'isomorphisme de transposition. Si tu ne connais pas les produits tensoriels, oublie cela :).

    Après je ne vois pas comment en déduire quelque chose sur le spectre, puisqu'il s'agit là d'une question sur des endomorphismes particuliers et non sur l'ensemble des endomorphismes.

    Si tu veux une autre preuve pour ton problème et que tu connais la notion de polynôme annulateur, tu peux faire une preuve avec, un peu moins élémentaire que celle que j'ai donné plus haut, mais plus dans l'esprit Prépa.
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