Stricte positivité de la fonction gamma.

Souki
Souki
dans Analyse
Bonsoir tout le monde,
Sauriez-vous comment montrer que la fonction gamma d’Euler est strictement positive sur son domaine de définition ?
Bien cordialement.

[Leonhard Euler (1707-1783) prend une majuscule et s'écrit ainsi. AD]

Réponses

  • Souki
    Souki
    Est ce qu'on peut généraliser la propriété "si f est continue et positive sur [a,b], et s'il existe un élément x de [a,b] tel que f(x)>0, alors $\int_a^b f >0$" sur un intervalle ?
  • discret
    discret
    Oui, cette propriété est vraie.

    On trouve une preuve dans les cours d'analyse de bac + 1 (par exemple : J-M. Monier, Analyse PCSI/PTSI, Dunod, 2007, Proposition 3 page 209).
  • Souki
    Souki
    Oui, je viens de le montrer aussi. :)
  • aléa
    aléa
    Plus simplement, pour $x>0$

    $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} e^{-t}t^{x-1}\ dt\ge \int_1^{2} e^{-t}t^{x-1}\ dt\ge \int_1^{2} e^{-t}t^{-1}\ dt\ge \frac{e^{-2}}2$.
  • discret
    discret
    Plus généralement, une étude de fonction montre que, pour tous $x \geqslant y > 1$, on a

    $$\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(y)} \geqslant \frac{x^{x-1} e^y}{y^{y-1} e^x}.$$

    Avec un peu plus de travail, on a aussi pour tout $x >0$

    $$\Gamma(x) > \frac{x^{x-\gamma}}{e^{x-1}}.$$
  • breukin
    breukin
    Pour moi, le domaine de définition de la fonction Gamma, c'était C privé des entiers négatifs ou nul...
    La question était plutôt de savoir si la fonction Gamma, restreinte aux réels, était strictement positive là où sa représentation intégrale classique est convergente (donc sur les réels positifs).
  • discret
    discret
    On pourrait t'objecter que Souki parle (uniquement) de la fonction Gamma {\bf d'Euler}. Comme celui-ci n'avait pas étudié son prolongement analytique (qui est venu plus tard, essentiellement au 19ème siècle), on peut convenir qu'il s'agissait dès le départ de sa restriction aux réels strictement positifs.
  • P5
    P5
    Il est utile d'avoir une démonstration élémentaire du fait que $\Gamma(z)$ définie par intégrale pour $\Re z>0$ ne s'annule pas. Ma foi, je ne l'ai pas.
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