Somme pas comme les autres !

Med Hasary · June 2002

c simple,
La somme de tous les entiers est-elle un entier?
Notez bien que la somme de tous les réels est 0.

enfoiro · June 2002

<HTML>Bonjour,
Oui mais attention somme des entiers naturels ou relatifs ?
a+

Jean-Louis BERNOU · June 2002

<HTML>Bonjour
La somme de tous les entiers , pas plus que de tous les réeels n'a de sens.On ne peut parler que de sommes finies.Donc le raisonnement qui consiste à dire que à un réel on ajoute son opposé,etc...n'a pas de sens.
Bonne journée.
Jean-louis.

jps0 · June 2002

<HTML>effectivement,
en termes de familles sommables, la famille n'est pas sommable.

neo1 · June 2002

<HTML>On peut peut etre parler de limites...?

Jean-Louis BERNOU · June 2002

<HTML>Rebonjour,
je ne crois pas pour parler de limites il faudrait avoir une suite,mais de quelles sommes partielles,et dans quel ordre. u(0)=1-1
u(1)=u(0)+2-2
....
Ca n'a pas trop de sens.
Bonne journée.
Jean-Louis.

mobiwan · June 2002

<HTML>Pourquoi n'a-t-on pas le droit de definir la somme dont parle Med Hasary comme la serie somme(an) avec an=n-n a partir de n>=0, de regarder si cette serie converge et si oui, quelle est sa somme?

A partir du moment ou les coefficients sont definis precisement, est-ce que cela a un sens?

Arnaud0 · June 2002

<HTML>Oui, definir une suite an=n-n a un sens, cela veut dire an=0 avec n Î N et la somme des termes de cette suite vaut 0.
Je ferais noter aussi que aleph0 - aleph0 est une forme indéterminée.

Il est vrai cependant, que l'étude des sommes des termes de certaines suites définies sur un ensemble donné peuvent réserver des surprises.

Par exemple, la suite définie par un = (-1)n ; la limite de la somme S(n) de ses termes tend, lorsque n tend vers l'infini, à prendre une valeur qui n'est ni 0 ni 1.

Salaheddine BERRAIS · June 2002

<HTML>Bonjour,
on parle de somme que lorsque les termes qui la forme sont en nombre fini.
Sinon, la notion de convergence et de divergence s'impose (comme pour les séries). Une série est une somme d'une infinité de termes. Ici la somme (ou la série 1+2+3+...+n+.... est divergente car elle est infinie et donc pas un entier).
Il fallait se référer au cours de l'analyse mathématique qui vous fait apprendre comment démontrer qu'une série est convergente ou divergente :
- Le critère de Cauchy par exemple stipule que si la limite de U(n+1) / U(n) -> L qd n->infini;
Si L < 1 alors la série converge
Si L > 1 alors la série diverge
Si L = 1 on ne peut rien dire
Vous voyez que dans notre cas, lim U(n+1)/U(n) = lim (n+1)/n = 1 qd n->inf et le critère de Cauchy n'en peut rien. Heureusement, il existe d'autres critères tels que celui de Duhamel et le faudrait le revoir.
A+

Richard André-Jeannin2 · June 2002

<HTML>Pas moins de 8 réponses pour une question venue d'ailleurs, c'est un beau succès.

robert3 · June 2002

<HTML>On pourrait aussi utiliser un argument de tyoe comparaison serie intégrale te voir ce qui se passe. J'arrive pas à l'appliquer.

klabouny : · June 2002

<HTML>On pourrait sûrement s'en sortir avec des séries génératrices.

simone0 · June 2002

<HTML>Il suffit de montrer que le vect de t^(1/n), n dans N, est dense dans C°[0,1] pour la norme uniforme. On invoque alors le théorème de Muntz-Sätz.
Il y a probablement plus élémentaire...

klabouny : · June 2002

<HTML>Je crois que tu fais une petite erreur : tu ne peux utiliser Muntz-Satz que sur un corps algébriquement clos !

enfoiro · June 2002

<HTML>Salut,
Dans analyse tome I, Roger Godement explique tres bien le probleme.
a+

Jean-Louis BERNOU · June 2002

<HTML> Bonjour,
oui R.Godement explique bien en effet les "errements" de nos grans anciens avec leurs calculs peu rigoureux sur les suites et les séries(modification de l'ordre des termes,...)et je recommande fortement cet ouvrage.(Surtout le tome 1),et en plus il y a un sujet de réflexion sur la responsabilité des mathématiciens dans les guerres.
Bonne après-midi.
Jean-Louis.

brice3 · June 2002

<HTML>Alors je vais tâcher de classer en deux "catégories" les gens qui répondent à une "question venue d'ailleurs":

_ Med Hasary: à part. C'est le génie qui lance des débats encore meilleurs que celui sur l'axiome du choix (références pour ceux qui peuvent encore s'en souvenir). Mes respects pour tant de virtuosité.

_ enfoiro, Jean-Louis BERNOU, jps, NeO ( are you the one ? Follow the white rabbit...), mobiwan, Arnaud, Salaheddine BERRAIS (appliquer le critère de D'Alembert -et pas Cauchy hy hy hy- sur la série des n, c'est une performance à relever: l'émission des records te tend ouvertement les bras).

_ Enfin, dernière catégorie, celle des gens ironiques et pas celle des désespérés:
Richard André-Jeannin, robert, klabouny , simone. Un grand remerciement pour ces personnes qui ont permis de nuancer cet énorme délirium et de le "transformer" en spot pour vidéo-gag.

paulmarie · June 2002

<HTML>Je crois que si l'on veut pouvoir regrouper une série par paquets ( ici paquets de 2: n et son opposéà) il faut que la famille soit sommable; c'est à dire ici absolument convergente. Ce n'est évidemment pas le cas.
Un exemple de ce problème de de sommabilité est la "somme" des 10n avec n entier:
S=1+10+100+...
10S=S-1
Donc S=-1/9 .....

jean0 · July 2002

<HTML>Et pourtant c'est correct dans $Q10$.

Somme pas comme les autres !

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