ensembles de nombres

Bonsoir,
je connais l'ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs, des rationnels, des réels et des complexes.
Existe-t-il un ensemble encore plus grand, contenant les nombres complexes ?
Comment est-il construit à partir des nombres complexes ?
merci beaucoup
Cédric

Réponses

  • On peut toujours construire un sur-corps d'un corps $K$. Il suffit de prendre le corps $K(t)$ des fractions rationnelles à coefficients dans $K$.

    Et on peut itérer comme ça autant que l'on veut...
  • Bonjour,

    Il y a aussi le corps des quaternions qui contient celui des complexes, mais il n'est pas commutatif.
    Encore plus grand, l'ensemble des octonions, mais celui-ci n'est même pas associatif, ce qui rend les calculs pénibles.
    Tout ça n'épuise pas les possibilités (cf. plus haut), et il existe tout un tas de trucs exotiques dont je te laisse le plaisir de la découverte sur Xikipedia. Tape "corps", "algebres", "anneaux", voire "reels" et "complexes".

    Bien cordialement.
  • Bonsoir

    Un nombre complexe peut être considéré comme un cas particulier d'une matrice carrée $2\times 2$

    en effet la matrice (dont le produit est commutatif) $$\begin{pmatrix}r.\cos(t)&-r.\sin(t)\\r.\sin(t)&r.\cos(t)\end{pmatrix}$$ est tout simplement l'écriture matricielle du nombre complexe $z = r(\cos t + i\sin t)$

    Cette présentation matricielle des nombres complexes présente l'intérêt de faire l'économie du nombre $i$
    même si elle empêche d'introduire facilement les nombreuses propriétés des nombres complexes
    Les matrices carrées de format $2\times 2,\ 4\times 4,\ n\times n$ sont des nombres respectivement à $4$, $9$ et $n²$ dimensions
    Les ternions, quaternions et octonions dont on a parlé plus haut,
    peuvent aussi être considérés comme nombres matriciels
    généralisation des nombres complexes (nombres à deux dimensions)

    Cordialement
  • Bonjour,

    @ jean lismonde: 4 x 4 = 9, c'est sûr ? ::o

    Bien cordialement.
  • D'autres ensembles de nombres remarquables: les nombres réels calculables, les nombres p-adiques.
    (même si ça ne répond pas à la question initiallement posée!)
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