Formule de Taylor reste intégral

Je suppose que $f$ est $C^{n+1}$ ? Dans ce cas , puisque l'on se place au voisinage de $0$, on peut suppose que $x\in [-a,a]$ ($a>0$ fixé). Or $f^{(n+1)}$ est continue sur $[-a,a]$, donc bornée par une constante $M$. Un coup "d'inégalité triangulaire", et on se retrouve à devoir estimer
$\int_0^x \frac{1}{n!}(x-t)^n \, \mathrm dt$...

Je ne vois pas ce qui te gêne lorsque $x<0$....le calcul est le même.

Attention, la formule de Taylor avec reste intégral est une formule globale, qui donne une propriété valable sur tout un intervalle clairement donné, alors qu'un développement limité, notamment celui qui est donné par la formule de Taylor-Young, est une formule locale, valable seulement sur un voisinage d'un point, et l'on ne sait pas même quel voisinage, on sait seulement qu'il existe.

Reprenons. Soit $p\in \N$ et soit une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^{p+1}$ sur un intervalle $I$ de $\ \R$, à valeurs dans un e. v. n. $E$ de dimension finie, et soit $a\in I$, $b\in I$.
Alors : $\displaystyle f(b)=\sum^{p}_{k=0} f^{(k)}(a)\frac{(b-a)^{k}}{k!}+R_{p}(a,b)$, avec : $\displaystyle R_{p}(a,b)=
\int_{a}^{b}f^{(p+1)}(t)\frac{(b-t)^{p}}{p!}dt$.
C'est la formule de Taylor avec reste intégral(e).
Soit $E=\R$ ou $\C$. Pour obtenir la formule de Taylor-Lagrange, apparemment tu sais comme on fait si $a<b$.
Si $a>b$, soit $\left| f^{(p+1)}(t)\right| \leq M_{p+1}$ pour $t\in [b,a]$, alors :
\begin{align*}
| R_{p}(a,b)| &=\left| \int_{b}^{a}f^{(p+1)}(t)\frac{(b-t)^{p}}{p!}dt\right| \\
&\leq \int_{b}^{a}\left| f^{(p+1)}(t)\right| \frac{\left| t-b\right| ^{p}}{p!}dt \\
&\leq M_{p+1}\int_{b}^{a}\frac{(t-b)^{p}}{p!}dt \\
&=M_{p+1}\bigg[\frac{(t-b)^{p+1}}{p!(p+1)}\bigg]_{t=b}^{t=a} =M_{p+1}\frac{(a-b)^{p+1}}{(p+1)!} \\
&=M_{p+1}\frac{\left| b-a\right| ^{p+1}}{(p+1)!}.
\end{align*}
Bonne journée.
RC

1. J'ai interverti, et non "intervertis" les bornes de l'intégrale. Ces bornes sont ainsi interverties, et non "intervertises". C'est comme le verbe finir : ton devoir est fini, ta tâche est finie.
2. Intervertir les bornes d'une intégrale revient à la changer en son opposé, ce qui ne change rien à sa valeur absolue (resp. à son module).
3. Je considère que l'on ne doit pas déduire la formule de Taylor-Young de la formule de Taylor avec reste intégral, car les hypothèses pertinentes de la formule de Taylor-Young sont bien moins exigeantes. La formule de Taylor-Young, je l'ai dit, est d'essence locale, elle a comme seule hypothèse que la dérivée $f^{(p)}(x_{0})$ existe ( ce qui suppose que toutes les dérivées $f^{(k)}(x_{0})$, $1\leq k\leq p-1$, existent sur un voisinage de $x_{0}$). Pour moi, la formule de Taylor-Young est un corollaire immédiat du théorème de primitivation des développements limités, et se démontre ainsi.
Bonne soirée.
RC

on peut intégrer l'epsilon.

Bonsoir,
On est vraiment peu de chose.
Le texte (officiel ?) que j'ai consulté précise:

Les théorèmes d’existence (théorème de Rolle, formule des accroissements finis) et la formule de Taylor sont hors programme.

Et un peu plus loin :

d) Formule de Taylor avec reste intégral. Majoration du reste, inégalité de Taylor Lagrange. Application à l'obtention, au voisinage de 0, des développements limités des fonctions usuelles...
Le résultat, démontré pour la fonction exponentielle, pourra être admis pour les autres fonctions.

Je ne comprends pas (j'ai honte), d'autant plus que j'associais plutôt Taylor-Young aux développements limités.

AD écrivait:

---

[Combien de fois faudra-t-il te dire que les noms propres, en particulier ceux de mathématiciens, prennent toujours une majuscule ! :X AD]

Un administrateur/modérateur doit savoir garder son calme dans toute circonstance

Il pourrait oui.
En fait j'ironisais un peu mais j'ai tellement été choqué la première fois que j'ai vu un commentaire d'AD de ce genre que je devais au moins une fois le dire voilà qui est fait.

Faut dire qu'un forum où les admins corrigent les fautes d'orthographe c'est quand même du jamais vu ...
Pour un exilé de 4chan comme moi c'est totalement surréaliste ^^

@lulu : ma remarque était pour Dark.

Lorsque tu honoreras les mathématiciens de majuscules, nous répondrons à tes questions ...

Bien le bonsoir Lulu.

Celsor.

lulu_salacia a écrit:

Bref sinon pour mon histoire de DL je reste bloquée !

Désolé, mais en ce qui concerne les DL mes compétences ne dépassent pas Taylor Young et je ne puis rien ajouter.
Par ailleurs je plussoie le point de vue de Raymond Cordier sur la question.

Il serait peut-être judicieux de comprendre pourquoi les programmes proposent parfois d'utiliser un hénaurme marteau pour écraser une petite mouche, comme c'est le cas lorsqu'on utilise la formule de Taylor avec reste intégral pour justifier la formule de Taylor-Young.

Avec la formule avec reste intégral, on démontre facilement des inégalités explicites, alors que la preuve de la formule de Taylor-Young par intégration successive de développements limités demande quelques efforts techniques pénibles (en particulier, il s'agit de revenir à la définition de la limite avec des $ \epsilon $ et autres lettres grecques qui peuvent rebuter les étudiants).

De même, il est très simple de démontrer la convergence des sommes de Riemann pour intégrer les fonctions de classe $ C^1 $ (on dispose d'inégalités explicites), alors qu'une preuve pour les fonctions continues requiert des arguments nettement plus délicats de continuité uniforme (donc la théorie de la compacité à la Borel-Lebesgue, qui est certes très puissante, mais d'une simplicité discutable).

Compare les différentes démonstrations possibles de la formule de Taylor-Young. Laquelle comprends tu spontanément le mieux ? Est ce cette approche que semble promouvoir la leçon que tu te proposes de présenter ? Quelle conclusion en tire tu ?

Mais tu y es !
Si l'on pose : $R_{n}(x)=\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$, alors tu sais que : $\left| R_{n}(x)\right| \leq M\frac{\left| x\right| ^{n+1}}{(n+1)!}$.
Pour $x\neq 0$, il en résulte : $\left| \frac{R_{n}(x)}{x^{n}}\right| \leq \frac{M}{(n+1)!}\left| x\right| $, ce qui implique : $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{R_{n}(x)}{x^{n}}=0$,
autrement dit : $R_{n}(x)=o(x^{n})$ quand $x\rightarrow 0$.
Bonne soirée.
RC