Agreg interne 2013 (épreuve du Jeu 24 Jan)

Plus, sérieusement, je suis presque sûr qu'il y aura au moins, un ou deux algorithmes à faire, comme l'an passé. Des points facile à prendre, en rédigeant correctement.

Bonjour à tous, la seule chose que j'espère c est que le sujet de la 2 eme épreuve ne soit pas trop calculatoire, ce qui serait un comble à l heure des logiciels de calcul formel.

Pas, si trivial que ça quand on ne connait pas le truc, mais si c'est un classique. On trouve la démo un peu partout, comme ici par exemple.

http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=0CFkQFjAH&url=http://web.univ-ubs.fr/lmam/gouno/L1ElemStat/COURS/Cours4.pdf&ei=VwMAUd2mIuam0AXguoHoDA&usg=AFQjCNEACNniy6yKpcbVWNWWxdwMgBXhew&bvm=bv.41248874,d.d2k&cad=rja

Cette démonstration, par passage en polaires dans une intégrale double impropre, est celle de Gauss soi-même. Si l'on ne veur pas utiliser des intégrales doubles impropres, on peut en donner une rédaction avec des intégrales doubles proprement dites, et encadrant un carré entre deux disques.
Il existe une foule de démonstrations, par exemple ici :
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf
ou ici :
http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/devagreg/Integrale_Gauss.pdf
Certaines de ces démonstrations peuvent être posées en prépa, en utilisant les intégrales à paramètres ou la convergence des suites de fonctions. La plus élémentaire à ma connaissance n'utilise que les intégrales impropres et peut être posée en prépa HEC ou BCPST, 2e année.
Un exercice amusant (?) consiste à poser $F(x)=\int_{x}^{+\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$, et à calculer $I=\int_{0}^{+\infty }F(t)dt$ ; il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de l'intégrale de Gauss pour le traiter.
Bonne soirée.
RC

Bon allez, bonne chance à tous, et tout le monde au lit.

Demain, c'est la bonne.

Et celui qui sort avant la fin est une poule mouillée...

Amicalement
Volny

135 postes, faites pas les cons, et restez jusqu'au bout ! B-)

Gardez à l'esprit que c'est un concours. Ne pas se décourager quoi qu'il arrive et serrer les dents même si le sujet vous semble pourri, il l'est pour tout le monde. Ce qui compte c'est la performance relative. (Un sujet désorientant peut même être une aubaine. Pour ma part, je pense que j''ai bénéficié l'an passé du découragement des autres candidats sur la topologie.)

Si, ça tourne mal, dîtes vous que vous faites parti des courageux qui présentent l'interne. Passer ce concours, est une source de dynamisme mathématique, et remise en cause personnelle. Et ce quoi qu'il arrive. Pas facile après des années d'enseignement, de se retrouver, à l'écrit ou à l'oral, en situation d'être à nouveau "jugé", alors bravo !

Et si ça tourne bien, vous verrez, l'agreg, on s'y fait très bien.

Bonjour à tous.
Je n'ai pu participer à l'épreuve ce matin, serait-il possible de mettre le sujet en ligne?
Par avance, merci et bon courage pour demain.

Je n'ai pas trouvé le sujet très dur, mais pareil je suis une vraie tortue !

J'ai fait partie 1 en entier + c) la formule de Cauchy en entier de la partie 2

J'ai peur que ce soit un peu court pour être dans le coup, mais je n'ai pas trop de repères, c'est la première fois que je passe l'interne...

J'ai trouvé le sujet relativement facile et plaisant jusqu'à la question 11.
J'ai fait en entier Partie I (A et , partie II (C et D).

Ensuite, je me suis embrouillée avec les matrices, et je n'ai rien compris aux parties III et IV.
Bon courage à tous pour la suite.

Bonjour,


J'ai trouvé les parties IA et IB simples, mais la rédaction m'a semblé particulièrement lourde avec les notations indicielles. Par exemple, fallait-il démontrer par récurrence le B4 ou se contenter d'une explication "en français"? Dans le doute j'ai écrit une récurrence longue à rédiger.

Question C7 dans quels cas a-t-on l'égalité demandé?


Je me suis arrêté au IC8, faute de temps.

pour Astons75,il me semble qu on a l'égalité demandée si c n'est pas un pôle de F.

Pour C6d, on peut prendre un carré qui tourne autour de zéro (dans le bon sens), par exemple $\alpha_1 =(1 + i), \alpha_2=(-1 +i) , \alpha_3=-(1 + i), \alpha_4=(i -1)$

Ca fait $n=4$ et $p=2$ avec $I=1$ (sauf erreur)

@Aston75 pourquoi une récurrence pour le 4 ?

@marie "Insolente va !" "Maître" ? Heureusement que tu souris en l'écrivant...

En fait c7 c'est vrai si $I_c = 0$

On pourrait presque dire que

$$I_{a}^{b} = \int_{a}^{b}1_{\{I_{c}=1\}} -\int_{a}^{b}1_{\{I_{c}=-1\}}$$

avec $I_{a}=I_{b}=0$

J'ai fait une récurrence sur m compris entre 1 et n. J'ai introduit p_m=Card[ k€[1,m] /etc... ] et signe( Im alpha_m)=(-1)^p_m signe(Im alpha₁).

Y avait-il plus rapide?

Pareil !!! avec un ami, on avait bien bossé Jordan, l'algèbre linéaire en général, les groupes, l'arithmétique...
pour rien cela est déprimant, gros investissement, les mercredis, les vacances... bigre !

Mon avis perso :
On regarde si les candidats savent faire des mathématiques, rigueur, raisonnement, abstraction...

Je pense que réviser tout le programme apporte surtout l'expérience nécessaire à ce genre de problèmes...
J'avoue, y'avait rien besoin de savoir pour avancer jusqu'ou j'ai été, cad partie C...

je comprends tout à fait ceux qui ont bossé et qui se sentent lésés.Moi c est un peu le contraire,; je vais régulièrement aux oraux , mais comme je suis incapable de répondre à une question du tac au tac, vu que je ne connais pas par coeur tout le cours, loin de là, je me prends 5 ou 6 à chaque fois.Et çà me fout un peu les boules de me dire qu' on juge des profs sur des connaissances et pas sur des capacités à rédiger correctement, à savoir nier une contraposée....Chacun voit midi à sa porte...Mais bon me retaper tout le programme après 20 ans de collège et 2 enfants dont je m'occupe seul, je ne me vois pas le faire.

Rien à savoir... pas classique...

Ca aidait quand même bien de se souvenir de ce qu'était l'indice d'un point, et que la définition générale de l'indice d'un chemin utilise justement le théorème de relevement.

Sans vouloir retourner le couteau dans la plaie je dirais plutôt que celui qui était au point sur les bases basiques et toutes débutantes (ça va les pléonasmes, ou j'en ajoute encore ?) de l'analyse complexe se souvenait que la partie III était quasiment du cours. Dommage que je sois une ultra-quiche en analyse complexe

Allez vous en faites pas, demain c'est de l'analyse, on va pouvoir utiliser des résultats sur la décomposition de Dunford ou la compacité du groupe orthogonal d'un R-ev, et faire de l'algèbre linéaire, ou des actions de groupes

Bonne nuit à tous, et demain on ne lâche rien...

Amicalement
Volny

pas de souchi, Volny ;-)
A demain!
Marie

Tentative de rédaction délirante de B

On remarque que $H(X) = \frac{Re(\beta - \alpha) X + Re(\alpha)}{Im(\beta - \alpha) X + Im(\alpha)}$ est une homographie $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ dès lors que $\Delta = ad-bc$ est non nul, et constant sinon.

(en fait $\tilde{H}(x)=cot(arg(z))$ où $z$ parcourt la droite $(\alpha;\beta)$ quand $x$ parcourt $\mathbb{R}$, et le segment $[\alpha;\beta]$ quand $x \in [0;1]$)

Avec $\alpha = b + i d$ et $\beta-\alpha = a + i c$ et $d\neq0$ puisque $\alpha$ n'est pas réel .

De plus $c = 0$ signifie $(\alpha;\beta) \parallel \mathbb{R}$, mais surtout $H(X)$ est affine et comme $\alpha \neq \beta$ on a $c = 0 \Rightarrow a \neq 0$ et $\Delta = ad\neq 0$

$H(X)$ n'a pas de pôle et $\forall x\in \mathbb{R}, I_{x}(H)=0$ et en particulier $I_{0}^{1}(H)=0$.

Traitons $c \neq 0$ maintenant, c'est a dire $(\alpha;\beta) \nparallel \mathbb{R}$.

Si $\Delta \neq 0$, on a $\tilde{H}(x)$ défini pour $x\in \mathbb{R}\setminus \{\frac{-d}{c}\}$ avec $\tilde{H}(0)=\alpha$ et $\tilde{H}(1)=\beta$
soit $\gamma=\alpha + \frac{-d}{c}(\beta-\alpha)$ le complexe de $(\alpha;\beta)$ correspondant au pôle de $H=\frac{N}{D}$
on a clairement $\gamma=\tilde{N}(\frac{-d}{c}) + i \tilde{D}(\frac{-d}{c})$ et donc $\gamma \in \mathbb{R}$ et $Re(\gamma)=t$ avec $t=a\frac{-d}{c}+b=-\frac{ad-bc}{c}=-\frac{\Delta}{c}$

$\Delta = 0$ signifie $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ c'est à dire $\alpha$ et $\beta - \alpha$ colinéaires, et donc comme $0\neq\alpha\neq\beta\neq0$, on a $\alpha = k \beta$ avec $k \in \mathbb{R}^{*}\setminus \{1\}$

Réglons le cas où $\alpha$ et $\beta$ sont proportionnels :

si $k\in \mathbb{R}_{+}\setminus\{1\}$ on a $0 \notin [\alpha;\beta]$ et la fraction rationelle est constante ($\Delta=0$), donc continue et en tout $x \in [0;1]$ les limites à gauche et à droite de $\tilde{H}(x)$ sont identiques et l'indice $I_x$ est nul, et en particulier $I_{0}^{1}(H)=0$.

si $k\in \mathbb{R}_{-}$ on a $0 \in [\alpha;\beta]$ mais la fraction rationelle étant constante ($\Delta=0$), sauf en son pôle où elle n'est pas définie, les limites à gauche et à droite sont identiques et l'indice est nul.

N.B. Ce cas est explicitement exclu par la donnée de $t\in\mathbb{R}^{*}$, car $t=-\frac{\Delta}{c}$.

On peut maintenant répondre aux questions.

Etudions le cas $[\alpha;\beta] \cap \mathbb{R} = \emptyset$ :
soit $(\alpha;\beta) \parallel \mathbb{R}$ déjà vu : $H(X)$ est affine et $I_{0}^{1}(H)=0$.
soit $(\alpha;\beta) \nparallel \mathbb{R}$ et $\Delta = 0$ déjà vu : $k\in \mathbb{R}_{+}\setminus\{1\}$ (sinon $0\in\mathbb{R}\cap[\alpha;\beta]$) et $I_{0}^{1}(H)=0$.
soit $(\alpha;\beta) \nparallel \mathbb{R}$ et $\Delta \neq 0$ : alors $H(X)$ est une homographie dont le pôle est $\gamma$ et comme $\gamma \in \mathbb{R}\cap(\alpha;\beta)$, on a $\gamma \notin [\alpha;\beta]$, et $\forall x\in [0;1],\tilde{H}(x)$ est continue en $x$ et $I_x=0$, en particulier $I_{0}^{1}(H)=0$.

On a donc $[\alpha;\beta] \cap \mathbb{R} = \emptyset \Rightarrow I_{0}^{1}(H)=0$ qui conclu la question 4.

Sinon, et pour $0 \notin (\alpha;\beta)$ le pôle est $\frac{-d}{c}$ et le numérateur $\tilde{N}(\frac{-d}{c})=a\frac{-d}{c}+b= -\frac{\Delta}{c}=t$ est différent de zéro, et donc de signe constant sur un ouvert autour de $x=\frac{-d}{c}$,

Son signe est celui de $\tilde{N}(\frac{-d}{c})=t$

Le dénominateur $\tilde{D}(x)=cx+d=c(x+\frac{d}{c})$ et ainsi sur un ouvert autour du pôle $\hat{H}(x)$ se comporte comme
$$\frac{-\frac{\Delta}{c^2}}{(x+\frac{d}{c})}=\frac{\frac{t}{c}}{(x+\frac{d}{c})}$$

Du coup, pour l'indice, c'est comme au 1 : le signe de l'indice est l'opposé du signe de $\Delta$, qui est celui de $\frac{t}{c}$, c'est à dire de $t \times Im(\beta-\alpha)$, qui conclu la question 5

Allez, bonne nuit à tous

bonjour,

question B.6 : (a) il me semble qu'on peut tout simplement dire que p est pair parce que comme la ligne polygonale est fermée (et que les sommets ne sont pas réels) elle traverse un nombre pair de fois l'axe des réels.
(d) je trouve 3 cas différents : soit la ligne ne tourne pas autour de l'origine et l'indice est nul. Soit la ligne tourne autour de l'origine et traverse R+ une fois de plus dans le sens direct que dans le sens indirect, et l'indice est égal à 1 ; soit la ligne tourne autour de 0 et traverse R+ une fois de plus dans le sens indirect que dans le sens direct, et l'indice est égal à -1.
@Volny : je ne vois pas comment la ligne pourrait tourner plusieurs fois autour de l'origine puisqu'elle est fermée et que les sommets sont tous distincts ?

aleph-0

Ben moi j'ai esquissé une récurrence sur n, mais du coup, la question suivante était triviale...

Tu paramètres ton segment et c'est un coup de valeurs intermédiaires.

e.v.

je pose la question à tout hasard...

...est ce que quelqu'un de l'équipe s'est lancé dans un corrigé de l'épreuve 1 ?

cordialement