Espace compact sans suites convergentes

ducanh
ducanh
dans Analyse
Bonjour,

Dans le livre de Rudin 1973, Functional Analysis, il y a une remarque à l'exercice 28 du chapitre 3 comme suit: Il existe des espaces compacts séparés dans lesquels aucune suite de points distincts converge.

J'ai essayé deux exemples : le spectre premier d'un anneau de Boole et la compactification de Stone-Cech de $\mathbb{Z},$ qui semblent être proche d'un tel exemple mais je n'ai pas encore eu du succès.

Qui pourrait m'aider? [Edit : pour être plus précis, est-ce qu'il y a quelqu'un connaisse une référence/une preuve pour cette remarque?]

Merci d'avance,

Duc Anh

Réponses

  • capesard
    capesard
    bonjour,
    j'ai essayé avec la topologie de la convergence simple sur
    $\mathbb{R}^{[0;1]}$ et une famille de polynomes d'interpolation de Lagrange en
    les points $\left( \xi_1,\mu_1,\xi_2,\mu_2..,\xi_n,\mu_n \right)$ ,soit $ P_{\xi_1,\mu_1,\xi_2,\mu_2..\xi_n,\mu_n}$, mais je ne vois pas comment construire un compact, même avec le théorème de Tychonov, de manière à "enfermer" cette suite dans un compact.

    cordialement,
  • christophe c
    christophe c
    Si $E$ est un ensemble infini et $W$ est l'ensemble des ultrafiltres sur $E$ quand tu munis $W$ de la topologie engendrée par les $U_A:=\{X\in W| A\in X\}, A\subseteq E$, tu obtiens (à vue de nez, mais je peux me tromper, mais je n'ai pas le temps) un exemple. Je vois mal comment une suite d'ultrafiltres distincts peut converger. L'espace est bien séparé et compact.

    A vérifier en détails
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Seirios
    Seirios
    Un ensemble fini muni de la topologie discrète ?
  • capesard
    capesard
    tout ça me dépasse mais ça suggère de chercher un foncteur entre les espaces produits muni de la topologie de la convergence simple et des algèbres de Boole (?).
  • remarque
    remarque
    tout ça me dépasse mais ça suggère de chercher un foncteur entre #insert buzzword1 here# et #insert buzzword2 here# (?).
  • Héhéhé0
    Héhéhé0
    remarque : un foncteur entre Gérard Depardieu et Gangnam Style ?
  • remarque
    remarque
    (tu)
  • ducanh
    ducanh
    Merci beaucoup, je vais essayer d'examiner l'exemple de Christophe. Au fait, je ne comprends pas l'humour (possible) dans la recherche d'un foncteur ci-dessus :S
  • godesnoix1
    godesnoix1
    Bonjour, l'énoncé est faux. Ou mal précisé. La convergence d'une suite ne dépend pas des premiers termes, donc il faudrait plutot un énoncé du genre:

    "Il existe des espaces compacts dans lequel aucune suite non constante à partir d'un certain rang converge".

    Et Seririos a donné un tel exemple.
  • ducanh
    ducanh
    C'est une remarque dans un livre, c'est pas ma remarque. Donc j'aimerais voir une preuve de cette remarque. Rudin n'a pas donné une référence pour sa remarque.

    En outre, ici, on considère les suites de points DISTINCTS. Donc, pour un espace fini, il n'y a pas de telles suites. Alors, j'aimerais chercher un autre exemple.
  • Noname(nl)
    Noname(nl)
    Bonjour,
    Me semble que R muni de la topologie définie par les intervalles fermes ainsi que les ensembles dénombrables (on prend la topologie engendrée par ce petit monde) fonctionne bien.
    Si on a une suite d'éléments deux a deux distincts dont la limite est un certain a, alors soit a est distincts de tous les éléments de la suite, mais dans ce cas n'importe quel ouvert contenant a privé de la suite est toujours un ouvert contenant a, et donc a ne saurait être la limite. Si a est égal a un certain élément de la suite alors même musique en regardant ce qu'il se passe a partir du rang dudit terme.
  • JLT
    JLT
    Je crois que le compactifié de Stone-Cech de $\N$ est un exemple mais je n'ai pas réfléchi à la preuve.
  • Noname(nl)
    Noname(nl)
    Arf, mon espace n'est pas compact... il ne l'est même pas localement.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    @ JLT. Je pense que tu as raison. Voir: http://dantopology.wordpress.com/2012/10/01/stone-cech-compactification-of-the-integers-basic-facts/ (au début).

    Bien cordialement.
  • ducanh
    ducanh
    Merci JLT et de Pluquaire, je pense que l'exemple dans le blog-là est vrai (le compactifié de Stone-Cech de $\mathbb{N}$) grâce à Result 5. Il me reste à y comprendre les terminologies.

    Cordialement,
    Duc Anh
  • christophe c
    christophe c
    L'exemple de JLT est celui que j'ai donné au début du fil. (Enfin, je n'ai pas relu mais me semble-t-il)

    Le fait de prendre $\N$ ne me semble pas une obligation, prendre n'importe quel ensemble infini.

    Pour le prouver (vite fait, sauf erreur): supposons qu'une suite d'ultrafiltres distincts $U_n$ converge (vers $Z$).

    1) Il y a un $A_1\in U_1\setminus Z$. Or $E\setminus A_1$ appartient à tous les $U_n$ pour $n$ assez grand, ie à partir d'un certain entier $p$. Quitte à jeter tous les $U_i$ pour $i$ compris entre $2 $ et $p$, on peut considérer que $A_1$ appartient à $U_1$ et à aucun autre $U_n$. On recommence avec un $A_2$ disjoints de $A_1$ qui n'appartient pas à $U_1$, qui est dans $U_2$ et qui n'est pas dans $Z$. etc, etc

    2) A la fin, on a WLOG, une suite d'ultrafiltres $U_n$ qui tend vers $Z$ et des $A_n\in U_n$ pour chaque entier $n$ deux à deux disjoints donc pour tout $p\neq n: A_n\notin U_p$)

    3) contradiction en prenant par exemple la réunion des $Ap, p$ nombre pair
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • capesard
    capesard
    @christophe: peux tu apporter quelques précisions:
    pourquoi l'ultra filtre marche en toute généralité (et si la topologie est métrisable?, si les bases de voisinage sont dénombrables ?) est ce que l'espace est supposé compact ?
    peut on tjrs construire des ultra-filtres distincts si la topologie est séparée ?
  • remarque
    remarque
    Les ultrafiltres, c'est ensembliste. Ca préexiste à la topologie.
  • capesard
    capesard
    d'accord, je pensais que les filtres généralisaient (un peu) les voisinages.Mais s'il n'y a pas besoin de topologie... je vais relire mon Douady 'algèbres galoisiennes', il en parle au début du livre, et le wiki
  • christophe c
    christophe c
    Si $E$ est un ensemble infini, $W$ est l'ensemble des ultrafiltres sur $E$ et $T = \{U\subseteq W | \exists A\subseteq P(E): U=\{Z\in W| Z\cap A\neq \emptyset\} \}$ alors $(W,T)$ est l'espace topologique que j'évoque
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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