quantificateurs
Bonjour
De manière générale, a-t-on l'équivalence suivante ?
$\forall (x,y)\in E²,\ P(x,y)\Rightarrow Q(x,y)$ équivalent à $\forall x\in E,\ P(x,y)\Rightarrow \forall y\in E,\ Q(x,y)$
Merci
De manière générale, a-t-on l'équivalence suivante ?
$\forall (x,y)\in E²,\ P(x,y)\Rightarrow Q(x,y)$ équivalent à $\forall x\in E,\ P(x,y)\Rightarrow \forall y\in E,\ Q(x,y)$
Merci
Réponses
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Bonjour geo.
Il n'y a pas équivalence entre ces deux formules, techniquement la première est un énoncé et la seconde possède une occurrence de variable libre. En fait, la seconde est équivalente à[\forall\,x \in E \quad P(x,y) \Longrightarrow \big(\forall\,t \in E \quad Q(x,t)\big)\]
Bruno -
Du coup, dans la formulation de Bruno, la lettre $y$ n'a pas été présentée par un quantificateur. Sans papiers, elle n'a pas d'existence légale.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Effectivement.
Et dans celle de Géo, elle joue deux rôles différents.
Cordialement. -
@ev*** et géo, (et bisous à Bruno)
le premier énoncé est clos et dit quelque chose à propos de $(E,P,Q)$ c'est tout.
Le deuxième énoncé, dont la première occurence de $y$ est libre peut être regardé comme disant quelque chose à propos de $(E,P,Q,y)$.
Psychologiquement, tu peux peut-être l'écrire comme suit: $\forall x\in E,\ P(x,a)\Rightarrow \forall y\in E,\ Q(x,y)$ et le mettre dans une définition comme la suivante:
"on dira que le couple $(E,P,Q,a)$ est bleu quand $\forall x\in E,\ P(x,a)\Rightarrow \forall y\in E,\ Q(x,y)$"
dont tu vois bien qu'elle ne te choquerait pas.
*** pour préciser les papiers d'identité de $y$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ce post fait réfférence à celui ci; continuiét uniforme car je voulais savoir si la démonstration était correcte.
Merci pour vos explications.
PS; il va falloir, un jour, que je me mette à la logique... -
Re
Je refais monter ce post avec une question concrète
Pourquoi, dans la convergence d'une suite, a-t-on $\exists \ell,\ \forall \epsilon >0,\ \exists N_{\epsilon} \in \mathbb{N},\ n>N_{\epsilon} \Rightarrow |u_{n}-\ell|<\epsilon$
Alors que dans la convergence simple d'une suite de fonctions réelles on a
$ \forall x,\ \forall \epsilon >0,\ \exists N_{\epsilon} \in \mathbb{N},\ n>N_{\epsilon},\ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$
[Merci à ev pour la correction du code. Bruno] -
Bonjour,
Tu as oublié $\Rightarrow$ dans la 2.
Dans la 1) ne figure pas $\forall x$ puisque un ne dépend pas de la variable x.
Dans 2, il faut ajouter $\exists f $ au début.
Après tout va bien.
Il ne faut pas confondre apprendre la logique et apprendre à manipuler quelques symboles de logique !
Bien cordialement. -
Bonjour CDP.
En fait je pose cette question car dans de nombreux bouquins que j'aie, je trouve la définition suivante:
$f_{n}$ converge simplement vers f ssi $ \forall x,\ \exists f \ \forall \epsilon >0,\ \exists N_{\epsilon} \in \mathbb{N},\ n>N_{\epsilon},\ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$
Notamment, dans le Dantzer et le Guinin Joppin et d'autres, alors que dans le Warusfel, je trouve plutôt ceci:
$f_{n}$ converge simplement vers f ssi $ \forall x,\ \exists f \ \forall \epsilon >0,\ \exists N_{\epsilon} \in \mathbb{N},\ n>N_{\epsilon}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$
Question pourquoi ne mettent-ils pas le symbole ''implication" ?
Merci -
Si c'est vraiment ce qui est écrit, tu peux jeter tous ces livres. Si ce n'est pas vraiment ce qui est écrit, essaye d'être plus soigneux.
-
Bonjour,
@ geo. Je sais bien que dans certains ouvrages l'écriture des propositions est très négligée: oubli de quantificateurs, oubli de implique, etc ...
La punition est immédiate: si on veut trouver "logiquement" la négation d'une proposition ainsi (mal) écrite, on se trompe à coup sûr.
Je ne parle pas des quantificateurs placés après la proposition et qui parlent au vide (trouvé chez les meilleurs auteurs).
Cette manie d'écrire incorrectement la logique est d'autant plus détestable que nul n'est obligé de l'utiliser: Bourbaki écrit les choses en toutes lettres, sans quantificateurs, ni implique, et il me semble qu'il a écrit pas mal de maths. de grande qualité.
On ne peut attribuer ces erreurs d'écriture qu'à l'ignorance, ce n'est pas de l'étourderie; et c'est pénible pour des manuels destinés à l'enseignement.
Bien cordialement. -
H vas feuilleter les livres cités et tu verra par toi même.
-
CDP ça me rassure ce que tu dis.
Merci de m'avoir répondu.
ps: j'ai eu des profs à la fac(il y a longtemps) qui étaient trés pointilleux sur les définitions est l'écriture des formules. -
Pourquoi tu prends la mouche comme ça ?
Bon. Voilà néanmoins quelques manières acceptables de formaliser tout cela :
Je considère une suite $(f_n)_n$ de fonctions (disons de $\R$ dans $\R$). Je considère $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$.
La convergence simple de la suite $(f_n)_n$ vers $f$ signifie (j'écris plusieurs fois la même chose) :
1) $\forall x \in \R$, la suite de réels $(f_n(x))_n$ converge vers $f(x)$.
2) $\forall x \in \R, \forall \epsilon>0, \exists N \in \N, \forall n \in \N, ( n \ge N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)| \le \epsilon)$.
3) $\forall x \in \R, \forall \epsilon>0, \exists N \in \N, \forall n \ge N, |f_n(x)-f(x)| \le \epsilon$. -
Non H je ne prends pas la mouche.
Par contre c'est ta troisième phrase qu'on retrouve souvent dans les livres et pour moi ce n'est plus l même chose. -
OK.
Ce n'était pas ce que tu avais écrit. Qu'avait-on finalement dans tes livres ?
Fixons $N$ un entier naturel. Notons $S$ l'ensemble des entiers au moins égaux à $N$. Donnons-nous, pour tout entier naturel $n$ une assertion $A(n)$. Les trois écritures suivantes disent la même chose.
a)$\forall n, (n \in S \Rightarrow A(n))$.
b) $\forall n \in \N, (n \ge N \Rightarrow A(n))$.
c) $\forall n \ge N, A(n)$.
Suivant le formalisme précis adopté, certaines sont sans doute des abus d'écritures, mais ce n'est pas bien important dans le sens où ces écritures sont comprises par tout mathématicien et qu'elles sont non ambiguës.
L'abus ne te paraît pas raisonnable ? (C'est-à-dire : vois-tu une ambiguïté ou bien leur donnerais-tu naturellement des sens différents et si oui lesquels ?) -
Pour la troisième si on prend la négation c'est moins claire. J'en ai discuté avec un collègue hier il était du même avis. On a Non(A implique
=A et Non B.
Or ici il n'y a plus d'implication donc comment fait-on? -
Comme cela signifie la même chose, la négation est également la même.
La négation de $\forall n \ge N, A(n)$ est $\exists n \ge N, $ non $A(n)$.
Si tu vois c) comme un abus d'écriture de a), tu peux obtenir la négation de c) en prenant la négation de a). Je ne comprend en fait pas bien ton problème. -
Tu as aussi un souci avec ce qui suit ?
d) $\forall n \in S,\ A(n)$.
(J'ai repris les notations d'un message précédent.) -
En fait, ce qui me gêne, aussi c'est le fait qu'on peut se méprendre quand on parle de condition ou suffisante
-
Tes messages sont beaucoup trop lapidaires puis que je puisse comprendre tes problèmes.
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Bonjour!
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