EDP linéaire

Bonsoir à tous,

Pourriez-vous m'expliquer l'idée générale qui permet de résoudre l'EDP linéaire suivante, dans $ \mathcal{C}^{2} ( \mathbb{C}^2 , \mathbb{C} ) $ : $$
a \frac{\partial^{2} f}{\partial x^2 } (x,y) + b \frac{\partial^{2} f }{\partial x \partial y } (x,y) + c \frac{\partial^{2} f}{\partial x^2 } (x,y) = 0
$$ $ a , b , c \in \mathbb{C} $ ?
Est-ce que l'ensemble des solutions de cette EDP est un espace vectoriel ? Quelle est sa base ?
Je ne connais rien en EDP.
Merci d'avance.

Réponses

  • Bonne nuit,

    Pour montrer que l'espace des solutions est un espace vectoriel, ne compte que sur toi-même ! Sa dimension est infinie.
    A part ça, il doit y avoir un changement de variables à faire, et à discuter suivant les racines d'un polynôme du second degré.

    Bien cordialement.
  • Bonsoir,

    Sans rentrer dans les détails et de mémoire, il doit être possible de se ramener à un système de deux EDP du premier ordre pour résoudre cette EDP.

    Cordialement.
  • Oui, c'est vrai pour l'idée d'un espace vectoriel de solutions : On choisit deux solutions quelconques $ \phi , \psi \in E $ et on montre que $ \alpha \phi + \beta \psi \in E $ ( C'est facile, parce que l'équation est linéaire ).
    Mais, quel est le changement de variables dont tu parles $ \mathbb{C}^2 \oplus \mathrm{ker} $ ?

    Merci d'avance.
  • Merci @Darko, mais comment proceder en detail ?
    Merci d'avance.
  • Tu poses $u= \frac{\partial f}{\partial x }$ et $v= \frac{\partial f }{\partial y }$.
    Ton EDP devient alors: $$ a \frac{\partial u}{\partial x } + \frac{b}{2}\left( \frac{\partial v }{\partial x } +\frac{\partial u }{\partial y} \right) + c \frac{\partial v}{\partial y } = 0 $$
    et
    $$ \frac{\partial u }{\partial y } =\frac{\partial v }{\partial x}$$

    En espérant t'avoir aidé mais cela fait un certain temps que je n'ai pas touché à une EDP.
  • utiliser les changements de variable $u=x+\alpha y$ et $v=x+\beta y$, puis avec des choix de $\alpha$ et $\beta$ l'équation se ramène à l'une des équations suivantes:
    $\frac{\partial ^2f}{\partial u \partial v}=0$ , $\frac{\partial ^2f}{(\partial u)^2}=0$ ou $\frac{\partial ^2f}{(\partial u)^2}+\frac{\partial ^2f}{(\partial v)^2}=0$
  • Bonne nuit,

    Merci à "Le respect" d'avoir donné le renseignement qui m'était demandé par "Le_spectre"; personnellement, je ne me souvenais plus du changement de variables à faire, et une ballade sur Google ne m'avait rien apporté.

    Bien cordialement.
  • Une ballade, c'est une poésie.
    Une balade, c'est une promenade.
  • Bonne nuit,

    C'est vrai, merci, les lecteurs doivent lire balade et non ballade. :)

    Bien cordialement.
  • Dans le cas complexe, qui est celui qui intéresse Pablo, on se ramène aux seules deux formes $\dfrac{\partial ^2f}{\partial u \partial v}=0$ , $\dfrac{\partial ^2f}{\partial u^2}=0$.
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