coordonnées polaires

dans Analyse
Bonsoir
Soit une courbe paramétrée par la fonction vectorielle $\vec {f}(\theta)= r(\theta) \vec u (\theta)$. J'obtiens alors un point singulier ssi $r(\theta_0)=r'(\theta_0)=0$ , mais alors j'ai $\vec {f}(\theta)= \vec 0$ , l'origine est le seul point singulier. Comme je sais que ce n'est pas le seul et que je sais aussi que ce n'est pas forcément le cas (encore faut-il qu'il soit sur le support), ma question est donc : où est mon erreur de raisonnement svp?
Merci
Soit une courbe paramétrée par la fonction vectorielle $\vec {f}(\theta)= r(\theta) \vec u (\theta)$. J'obtiens alors un point singulier ssi $r(\theta_0)=r'(\theta_0)=0$ , mais alors j'ai $\vec {f}(\theta)= \vec 0$ , l'origine est le seul point singulier. Comme je sais que ce n'est pas le seul et que je sais aussi que ce n'est pas forcément le cas (encore faut-il qu'il soit sur le support), ma question est donc : où est mon erreur de raisonnement svp?
Merci
Réponses
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Bonsoir,
le problème est peut-être là ?parametric a écrit:> Comme je sais que ce n'est pas le seul -
Au risque de paraître lourd ...pourrais-tu être plus explicite?
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Connais-tu une courbe en polaires ayant un point singulier ailleurs qu'à l'origine ?
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Bon, je comprends au moins que je n'ai pas bien compris ce que c'est qu''une courbe en polaire. Alors, si je me donne un paramétrage d'une courbe $\vec f (t)=(x(t); y(t))$ , j'obtiens un paramétrage polaire par le changement de variables $x(t)=r(\theta) \cos \theta)$ (et $\sin $ pour $y$). Donc le support ne change pas pour autant? Mais j'ai l'impression à travers ta réponse que la singularité est une notion liée au type de paramétrage?
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Comment ferais-tu le changement de variables dans le cas d'une droite passant par l'origine?
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Ok, je voulais dire pour toute courbe ne passant pas par l'origine, et cela est la raison de mon intrigue (support ne contenant pas l'origine). Cela voudrait dire qu'une courbe ne contenant pas l'origine n'a pas de points singuliers?
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$r=cos(\theta)$ pose-t-elle un problème ? Ne passe-t-elle pas par l'origine ?
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Je vais reformuler mon problème car ma question n'est apparemment pas claire (mais cela exprime bien la confusion dans ma tête !) :
1- je considère un paramétrage d'une courbe. Est-ce que ma courbe peut avoir plusieurs points singuliers?
2 - si oui, je "passe en polaire" par un changement de variables (voir post précédent) . La courbe(le support) est toujours le même , n'est-ce pas? Donc les points singuliers sont toujours les mêmes ?
3- on me dit en polaire , un seul point singulier : l'origine. Ok, je valide même la démonstration mais je n'arrive pas à lever la confusion dans ma tête : le passage de 1 à 2? -
Autre question , quand on écrit l'équation polaire s'écrit :
$r=r(\theta)$ , c'est bizarre d'utiliser la même lettre dans les deux membres , une fonction à droite et un nombre à gauche, c'est le même $r$?
Comprends plus -
Bonne nuit,
Non, ce n'est pas trop bizarre, c'est plutôt un peu vieillot: ça signifie que $r$ est une fonction de la variable $\theta$.
Bien cordialement. -
C'est juste que le passage en polaires n'est pas toujours possible:
Que donnerait $\rho = f(\theta)$ dans le cas d'une droite passant par l'origine par exemple ?
Cordialement -
Et bien par le même changement de variables on aurait $\tan \theta = K$ , ou de façon équivalente $\theta = \theta_0$ , qui s'obtient en faisant le changement sur $y=Kx$?
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Oui mais ce n'est pas la forme considérée au début $\vec {f}(\theta)= \rho(\theta) \vec u_{\theta}$, $\rho$ dérivable sur un intervalle convenable.
C'est cette forme qui t'avait permis de conclure qu'il ne pouvait avoir de point singulier qu'à l'origine. -
Ok, dans ce cas on peut dire lorsque si une courbe admet plusieurs points singuliers , elle n'admet pas de paramétrage polaire de cette forme? Car alors on passerait de plusieurs points singuliers à un seul pour un support identique?
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Pardon pour la redondances "lorsque si"
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Concernant la première phrase, si par "plusieurs points singuliers" tu entends des points géométriques du plan (et non: valeurs d'un paramètre par exemple) et que ces points sont distincts, ok.
Par contre, je ne comprends pas la seconde phrase.
Cordialement -
La seconde phrase est l'idée du raisonnement par l'absurde : si elle admet plusieurs points M singuliers, supposons qu' on ait trouvé un paramétrage polaire de la forme voulue. Alors M est un point singulier ssi $r(\theta)=0$ , ssi M=O, ce qui contredit ce qui précède.
Sinon pour un paramétrage injectif(sans points multiples), les points au sens géométriques et au sens valeurs du paramètre sont deux notions qui coïncident n'est-ce pas?
Autre chose : la singularité se traduit geometriquement par l'existence d'une droite passant par l'origine qui coupe au moins deux fois la courbe, c'est çà ?
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