notion de Dérivée faible

Bonne nuit,

Soit $V$ un espace vectoriel de fonctions $\R \to \R$ de classe $C^1$ et nulles en dehors d'un intervalle borné.
On dira qu'une fonction $f : \R \to \R$ continue, par exemple, ou même moins régulière, a une dérivée $V$-faible s'il existe $g : \R \to \R$ telle que $$ \forall \phi \in V,\ \int g(t) \phi(t) dt = - \int f(t) \phi'(t) dt.$$ ($\int$ signifie sur $\R$ entier.)
Pour $f$ de classe $C^1$, on trouve $\int (f \phi)'(t) dt = \int f'(t)\phi(t) dt + \int f\phi'(t) dt = 0,$ ce qui justifie la définition précédente.

La dérivée faible peut être autre chose qu'une fonction (une mesure, une distribution), mais c'est plus difficile à expliquer élémentairement.

Bien cordialement.

Bonne nuit,

Merci AitJoseph.

Bien cordialement.

Bonne nuit,

En gros, $\phi$ est nulle en $-\infty$ et $+\infty$.

Bien cordialement.