notion de Dérivée faible

Bonsoir,
Est ce que quelqu'un peut m'expliquer la définition de dérivée faible? quand est ce qu'une fonction $u$ est dite faiblement dérivable? c'est quoi la dérivée faible d'une fonction $u$ ect... (svpp, je me suis tordu le cerveau :S )

Réponses

  • Bonne nuit,

    Soit $V$ un espace vectoriel de fonctions $\R \to \R$ de classe $C^1$ et nulles en dehors d'un intervalle borné.
    On dira qu'une fonction $f : \R \to \R$ continue, par exemple, ou même moins régulière, a une dérivée $V$-faible s'il existe $g : \R \to \R$ telle que $$ \forall \phi \in V,\ \int g(t) \phi(t) dt = - \int f(t) \phi'(t) dt.$$ ($\int$ signifie sur $\R$ entier.)
    Pour $f$ de classe $C^1$, on trouve $\int (f \phi)'(t) dt = \int f'(t)\phi(t) dt + \int f\phi'(t) dt = 0,$ ce qui justifie la définition précédente.

    La dérivée faible peut être autre chose qu'une fonction (une mesure, une distribution), mais c'est plus difficile à expliquer élémentairement.

    Bien cordialement.
  • Bonsoir

    C'est joli,on retrouve l'enseignant:)

    Cordialement
  • Bonne nuit,

    Merci AitJoseph. :)

    Bien cordialement.
  • Bonjour,

    d'où vient la condition $\int (f \phi)'(t) dt = 0$ ?

    Merci
  • Bonne nuit,

    En gros, $\phi$ est nulle en $-\infty$ et $+\infty$.

    Bien cordialement.
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