produit de convolution

Bonjour.
Si j'ai deux fonctions f et g à support compact et continues alors le produit de convolution de f et g est aussi à supprt compact.
J'ai très bien compris le truc mais j'ai du mal à rédiger la preuve car je suis embeté à cause du x-t dans la fonction.
Auriez vous une indication? Merci.

Réponses

  • Il faut commencer par montrer que si f s'annule en dehors de A et g aussi en dehors de B alors le produit de convolution de f et g s'annule en dehors de A+B (addition algebrique)
  • Bonne nuit,

    Si a = inf supp(f) et b = sup supp(f), on a supp(f) $ \subset$ [a,b], etc ...

    Bien cordialement.
  • il faut supposer biensur que le produit de convolution existe et A, B Lebesgue-mesurables. Et c'est le cas si A et B sont compacts et f et g sont continues
  • Oui j'ai les bonnes hypothèse pour f et g la difficulté et de montrer que l'intersection des 2 supports est non vide.
    @ Sadfub pourquoi utiliser la somme algébrique?
  • Pour tout $x$, $f*g(x)$ est une intégrale. Demande toi à quelle condition sur $x$ la fonction que tu intègres n'est pas identiquement nulle. Tu verras apparaître la somme algébrique des supports.
  • En fait j'ai procédé comme suit:
    On a pour $x$ réel $f*g(x)=\int_{\mathbb{R}} f(t)g(x-t)dt$ pour que le produit $f(t)g(x-t)$ soit non nul il suffit que $t$ soit dans $supp(f)$ et $x-t$ dans $supp(g)$ d'où $t$ dans $x- supp(g)$
    Mais je dois avoir de la ... dans les yeux j'ai du mal à voir une somme algébrique.
  • Ce n'est pas "il faut" mais "il suffit". Par ailleurs, je t'invitais à chercher une condition sur $x$, pas une condition sur $t$.
  • Bonjour,

    $(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}} f(t)g(x-t)dt$ =$\int_{A} f(t)g(x-t)dt$ car $f$ s'annule en dehors de A

    Maintenant IL SUFFIT de remarquer que si $t\in A$ et $ x\notin A+B$ alors $ x-t \notin B$ pour conclure
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