diagonalisation

ted2 · May 2004

Comment fait on pour connaitre l'ordre des vecteurs propres pour diagonaliser une matrice ?
Merci d'avance

Bruno · May 2004

L'ordre ? Veux-tu dire le premier, le second etc ?

Bruno

ted2 · May 2004

en effet je veux dire l'ordre de placement dans la matrice de passage, c vrai que ma question n'était pas trés précise

Mohammad · May 2004

Bonjour Ted,

On par exemple la matrice $A=\left(%
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}%
\right)$ On calcul le déterminant de $\{A-\lambda Id\}$ et on
obtient le polynôme dit caractéristique de la matrice. Si ce
polynôme admet des racines multiples $A$ n'est pas diagonalisable,
sinon s'il admet 3 racines distinctes (réelles ou non) $A$ est
diagonalisable et chaque racine $\lambda_{j,1\leq j\leq 3}$
produit un vecteur propre $\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}$. On a :

$A\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}=\lambda_{j,1\leq j\leq
3}\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}$ , dans cet ordre $j=1$ , $j=2$ et
$j=3$ et de même jusque $j=n$ pour une matrice $n \times n$. Donc
effectivement dans l'ordre des vecteurs colonnes constituant la
matrice.

Ceci donne pour la matrice de passage $P$ :

$P=\left(%
\begin{array}{ccc}
\lambda_{1}& 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3} \\
\end{array}%
\right)$ ... dans cet ordre.

Sauf erreur ou ommission de ma part.... (ou ignorance... de mon
cours)

Mohammad · May 2004

On par exemple la matrice $A=\left(%
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}%
\right)$ On calcul le déterminant de $\{A-\lambda Id\}$ et on
obtient le polynôme dit caractéristique de la matrice. Si ce
polynôme admet des racines multiples $A$ n'est pas diagonalisable,
sinon s'il admet 3 racines distinctes (réelles ou non) $A$ est
diagonalisable et chaque racine $\lambda_{j,1\leq j\leq 3}$
produit un vecteur propre $\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}$. On a :

$A\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}=\lambda_{j,1\leq j\leq
3}\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}$ , dans cet ordre $j=1$ , $j=2$ et
$j=3$ et de même jusque $j=n$ pour une matrice $n \times n$. Donc
effectivement dans l'ordre des vecteurs colonnes constituant la
matrice.

Ceci donne pour la matrice de passage $P$ :

$P=\left(%
\begin{array}{ccc}
\lambda_{1}& 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3} \\
\end{array}%
\right)$ ... dans cet ordre.

Sauf erreur ou ommission de ma part.... (ou ignorance... de mon
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Balladur · May 2004

des problèmes avec latex???

Hakim0 · May 2004

On par exemple la matrice $A=\left(%
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}%
\right)$ On calcul le déterminant de $\{A-\lambda Id\}$ et on
obtient le polynôme dit caractéristique de la matrice. Si ce
polynôme admet des racines multiples $A$ n'est pas diagonalisable,
sinon s'il admet 3 racines distinctes (réelles ou non) $A$ est
diagonalisable et chaque racine $\lambda_{j,1\leq j\leq 3}$
produit un vecteur propre $\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}$. On a :

$A\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}=\lambda_{j,1\leq j\leq
3}\textit{v}_{j,1\leq j\leq 3}$ , dans cet ordre $j=1$ , $j=2$ et
$j=3$ et de même jusque $j=n$ pour une matrice $n \times n$. Donc
effectivement dans l'ordre des vecteurs colonnes constituant la
matrice.

Ceci donne pour la matrice de passage $P$ :

$P=\left(%
\begin{array}{ccc}
\lambda_{1}& 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3} \\
\end{array}%
\right)$ ... dans cet ordre.

Sauf erreur ou ommission de ma part.... (ou ignorance... de mon
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Mohammad · May 2004

Oui je sais pas pourquoi je ne peux même pas voir un aperçu... :-)

JC5 · May 2004

Bein l'ordre dépend simplement de la base dans laquelle tu te places.

Diagonaliser une matrice revient à chercher une base de vecteurs propres de ta matrice.

si tu as tes n vecteurs propres (v1,v2,v3,...,vn) alors l'expression de ta matrice dans cette base sera sur la diagonale (l1,l2,l3,...,ln) avec v1,v2,v3,...,vn les vecteurs propres associés à tes valeurs propres respectives l1,l2,l3,...ln

Autrement dit si tu as une matrice 2x2 par exemple de valeurs propres 1,2 et de vecteurs propres u,v u dans E1 et v dans E2 alors si tu choisis de te placer dans la base (u,v) alors ta matrice sera

(1 0)
(0 2)

si en revanche tu te places dans la base (v,u) ta matrice sera

(2 0)
(0 1)

voilà

Bonne fin de journée.
@+

ted2 · May 2004

merci à vous !

vinh le ricain · May 2004

Mohammad,

ce n'est pas parce que le polynôme caractéristique admet une racine multiple que l'endomorphisme n'est pas diagonalisable...

Si le sous-espace propre associé à cette valeur propre est de dimension égale à la multiplicité de ladite valeur propre, ça marche...

See ya'

vinh

JC5 · May 2004

Ah oui en effet, je n'avais pas lu le .pdf que je n'avais pas vu.
En fait il y'a confusion, c'est le polynôme minimal de ton endomorphisme qui doit etre scindé à racine simple pour etre diagonalisable (équivalence) et non le polynôme caracteristique.

Un exemple très bete:
l'endomorphisme identique de matrice In dont le polynôme caracteristique est (X-1)^n et dont le polynôme minimal est X-1. Et la matrice In étant diagonale ....

diagonalisation

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