Une implication pour vos étudiants

Clairon
Clairon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonsoir à Tous,

Si vous aviez à faire cet exercice avec vos étudiants, que leur expliqueriez-vous ?

Exercice : Dire si l'implication suivante est vraie ou fausse
$$
\forall x \in \mathbb R,\ x>4 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} > 2
$$

Merci pour vos commentaires.
Clairon.

Réponses

  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Quel serait le niveau des "étudiants" auxquels je devrais expliquer comment résoudre cet exercice ? Si anté-bac : quelle classe et quelle filière ? Si post-bac : quelle année et quelle structure ?


    Edit : bon, un premier élément de réponse. Si post-bac (toutes structures confondues), je commencerais par pointer du doigt le petit abus de langage, puisqu'il ne s'agit pas d'une implication mais d'une quantification universelle, plus précisément d'une implication sous quantification universelle. Si ante-bac (toutes filières confondues), je ne donnerais pas l'exo avec l'abus de langage (je changerais "implication" par "énoncé"), car ce type d'abus me paraît dangereux au lycée, mais ce n'est bien sûr qu'une position personnelle.
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    Je n'ai jamais fait perdre de temps à mes élèves avec des trucs pareils.
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Raymond Cordier, c'est important de savoir rédiger et pourquoi ne pas commencer à s'entraîner à le faire avec des énoncés qui ne présentent pas de difficultés sur le plan des mathématiques ? Bien sûr, comme je ne sais pas à quel niveau se place Clairon, je ne peux que supposer que c'est l'objectif recherché.

    Plutôt que de critiquer sans argumenter, pourquoi ne pas nous raconter l'anecdote sur Hugues Aufray ?
  • vg
    vg
    Bonjour,

    En 1reS :

    L'implication est vraie. Preuve :

    Soit $x\in\R$. Supposons $x>4$. Alors, comme $x>4\geq0$ et que $t\mapsto\sqrt{t}$ est strictement croissante sur $\R_+$, $\sqrt{x}>\sqrt{4}$, donc $\sqrt{x}>2$.

    Explications :
    \begin{itemize}
    \item Pour prouver "pour tout $x\in\R\dots$", on commence par "Soit $x\in\R$.", sous-entendu quelconque ;
    \item pour prouver une implication, la manière directe est de supposer le "si", et de déduire le "alors" avec le cours ;
    \item l'implication est bien vraie pour tout $x\in\R$. Dire qu'une implication est vraie n'est pas dire que le "Si" est vrai, ni dire que le "alors" est vrai (d'ailleurs il y a une variable libre dans le "si" et dans le "alors") :
    \begin{itemize}
    \item l'"implication" : $(\forall x\in\R,\,x>4)\Rightarrow \sqrt{x}>2$ n'a pas de sens ;
    \item la proposition : $\forall x\in\R,\,x>4$ est bien fausse ;
    \item l'implication : $(\forall x\in\R,\,x>4)\Rightarrow(\forall x\in\R,\, \sqrt{x}>2)$ est vraie.
    \end{itemize}
    \end{itemize}
    Commentaires : je ne sais pas quel est le niveau des "étudiants", mais quand on enseigne le raisonnement par récurrence au lycée on voit que beaucoup d'élèves n'ont pas de repères en logique / raisonnement. En particulier, les élèves utilisent souvent "$A\Rightarrow B$" quand ils veulent dire "$A$, donc $B$", c'est à dire exprimer "on a $A$, or $A\Rightarrow B$, donc $B$".
  • JLT
    JLT
    D'abord on constate que l'on peut se restreindre à $x\in \R_+$.

    On procède ensuite par contraposition. On montre que $\forall x\in\R_+$, $\sqrt{x}\le 2\implies x\le 4$ en multipliant membre à membre les inégalités de nombres positifs

    \begin{eqnarray*}
    \sqrt{x}&\le& 2\\
    \sqrt{x}&\le& 2
    \end{eqnarray*}

    P.S. Voici un exercice pas évident pour beaucoup d'étudiants de L1 :

    Les assertions suivantes (dans $\N$) sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

    a) $\forall x$ ($x\ge 1$).

    b) $\exists x$ ($x^2=-1$).

    c) $\forall x$ $\exists y$ $\exists z$ ($x=y+z$).

    d) $\exists x$ $\forall y$ ($y\ge x\implies y \ge 5$).

    e) $\exists x$ $\forall y$ ($y\ge x\implies (\exists z, y=z + 28368276$)).
  • Clairon
    Clairon
    @Nîmes-man : le niveau des étudiants, disons L1.

    Comme vous l'aurez compris, je m'interroge surtout sur le sens même
    de cette "implication", puisque l'assertion $\forall x \in \mathbb R, \sqrt x > 2$
    n'a pas de sens.

    It's all ! Je vais pas en faire une montagne de cet exo.

    Clairon.
  • JLT
    JLT
    Il vaudrait mieux remplacer $\R$ par $\R_+$ dans l'énoncé.
  • Clairon
    Clairon
    Oui, on est d'accord : je n'irai jamais filer un tel exo à mes étudiants (si un jour, j'en ai).
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Il y a plusieurs écoles. Je suis de l'école où l'on interprète "montrer P" par "montrer que P a un sens et est vraie" mais je le suis davantage par sens pratique que par conviction morale.

    Par exemple, je souhaiterais bien du courage à qui voudrait traduire l'énoncé à prouver en ZF.

    Clairon a écrit:
    It's all ! Je vais pas en faire une montagne de cet exo.

    Ok, passons plutôt à l'anecdote de Raymond Cordier.
  • David Olivier
    David Olivier
    Je ne comprends pas bien si l'exercice consiste à aboutir à une réponse précise «l'implication est vraie» ou «l'implication est fausse», ou à réfléchir autour de cet énoncé et des diverses critiques qu'on peut en faire.

    Car dans le premier cas, l'exercice est tout simplement mal posé, puisque, comme l'a dit Nîmes-man, la formule n'est tout simplement pas une implication.

    Mais dans le second cas, je trouve qu'il y a beaucoup à dire sur les problèmes que pose cette formule, et qu'on risque surtout de s'enfoncer.

    En particulier, pour par exemple $x = -1$, l'implication devient $-1 > 4 \implies \sqrt {-1} > 2$, où le premier terme a la valeur $faux$ et le second n'a pas de valeur du tout. Or dans la table de vérité de $\implies$, on ne trouve pas de ligne $faux \implies indéfini$. On pourrait vouloir l'y ajouter, mais à la base, elle n'y est pas. Donc l'implication tout entière a une valeur indéfinie.

    Je ne sais pas trop comment on résout ce genre de difficultés en logique, et il peut être intéressant de réfléchir à ça avec les étudiants, mais ce n'est certainement pas un simple exo.
  • cassiopella
    cassiopella
    Pour moi l'implication est fausse et cela même pour les élèves du 3ième. Pourquoi? Parce que les élèves sachent que l'équation du type: x²=4 donne des résultats -2 et 2. Sauf qu'au lieu de résoudre directement, on oblige les élèves à utiliser les identités remarquables (x²=4 x²-4=0 (x+2)(x-2)=0 etc...).

    D'ailleurs je ne comprends pas pourquoi ne pas enseigner les equations avec les puissances. Elles ne sont pas si difficiles.
  • christophe c
    christophe c
    de mon tel et du train qui bouge

    lool je n avais pas vu ce fil, paaardon Clairon j ai tellement l habitude que tu postes pour du latex et etant une brel en latex svt je n ouvre pas car je sais que je ne pourrai pas t aider et la probablement que j ai du croire que tu cherchais comment dessiner le plus joli "=>" du monde en latex :D

    J avoue etre surpris du caractere HS des reponses meme si je sais qu il y en certains ils le font capricieusement expres par plaisir obstine de malmener la logique

    1) apparemment vue une de tes dernieres interventions, il semble qu il y ait une ambiguite de parentheses qui a coute au fil, les gens semblent t avoir repondu en mettamt de grosses parentheses tacites autour de tout ce qu il y a apres le quelquesoit x

    2) je rappelle que "implique" a une definition precise ( onpeut certes.la.prouver en quelque sorte mais c est une autre affaire):
    vrai => vrai = vrai
    vrai => faux = faux
    faux => vrai = vrai
    faux => faux = vrai

    3) la valeur de verite d une phrase de la forme "f(x)=y" est faux quand x n est pas dans l ensemble de definition de f (je rappelle que cette phrase est juste l abus de langage abregeant " (x,y) appartient a f" )

    4) par ailleurs je signale que faux =>indefini = vrai, pour les gens qui aimeraient ajouter ce «indefini»**. Les seules circonstances ou on force l indefini a l emporter sur tout le reste d une part c est extremement rare, d autre part hors monde fixe.des.objets maths (commodites informatiques precises). Avec ca , rep a ta question evidente

    **
    rappel: faux := Tout et en particulier Tout => autant indefini que toto, indefini, Gertrude,etc
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Qadassi NL
    Qadassi NL
    Pour leur expliquer cette implication, j utilise (c est tres frequent)
    si P alors Q
    si P donc Q
    Q car P
    il suffit de P pour Q
    P entraine Q
    si P alors nécessairement Q
    Q necessaire pour P
    Est ce que P suffit pour Q
    Est ce que Q est obligatoire si P

    Ces eleves ne sont pas tres logiques dans leurs quotidiens et leurs echanges, leurs problèmes de langages ce répercutent sur les math.
  • capesard
    capesard
    je leur dirai:
    cette implication est un programme exécutable mais pas compilable. Il passe à l'éxécution mais pas au compilateur, surtout si le compilateur n'est pas smart. On ne la fait tourner qu'en "interprété"
  • qadassi
    qadassi
    Bonsoir.
    J'avais mal compris la question, et je me rattrape. Je pensais que la réponse attendue était bien entendu connue, et que tu cherchais un moyen de leurs expliquer plus l'implication que l'énoncé lui-même.
    Pou revenir à ta question, l'énoncé ci-dessus est correct et sa valeur logique est vrai.

    Sachant que $\left[ \forall x\in \{-1,5\}, P(x) \right] \iff \left[ P(-1) \text{ et } P(5) \right]$, et que $[P \Rightarrow Q]\iff \left[ \text{ non } (P) \text{ ou } Q \right]$, on aura $[\forall x \in \mathbb R,\ x>4 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} > 2] \iff$ [... et $\left[\text{ non }(-1>4) \text{ ou } \ (\sqrt{-1} > 2) \right]$ et ...]

    Si on suppose notre racine définie dans $\R+$, écrire $\sqrt{-1} $ est faux et si définie dans $\C$, écrire la relation d'ordre est fausse , non($-1>4$) étant vrai, d'où le résultat partiel est vrai, par analogie pour tout les négatifs, le résultat général sera vrai.

    Cette énoncé n'est pas dénué d'intérêt puisqu'il permet de revoir certaines notions sous un autre angle.
  • capesard
    capesard
    je suis pas trop d'accord avec JLT quand il écrit "il est suffisant de se restreindre à $\mathbb{R}^+$"
    alors qu'on "doit" se restreindre à $\mathbb{R}^+$
    je pense avoir trouvé où ca coince:

    on dit toujours que
    $(A(x) \Rightarrow B(x) )$ équivaut à $(\textrm{non} B(x) \Rightarrow \textrm{non} A(x) )$
    ici avec la contraposée
    $\forall x \in \mathbb{R} \left( \sqrt{x} \leq 2 \Rightarrow x \leq 4 \right)$
    on ne peut pas remplacer l'implication par sa contraposée.
    i) le compilateur émet donc un "warning".
    ii) cette implication comporte une demande implicite
    "n'utilisez pas ma contraposée pour me démontrer".
    ça serait le comble qu'un bout de syntaxe demande quelque chose à l'interpréteur,non ?

    soit on considère que cette implication est du "junk code", soit on s'en sert pour que la syntaxe influence le modus ponens.

    A+
  • christophe c
    christophe c
    je me repete histoire d eviter aux visiteurs futurs d etre perdus dans le nombre de posts fetards du fil:

    1) a priori Clairon a sous entendu des parentheses globales entourant tout ce qu il y a apres "quelquesoit x"

    2) L exemple precis ici n est pas (problematique-a-cause-de-abus-de-langage-mettant-une fonction-nondefiniesurunargument)

    3) il pourrait arriver DANS D AUTRES EXEMPLES que ce soit problematique (par exemple est-ce vrai ou faux que 1/0 =3/0+5?)

    4) Il ne reste du coup pour ceux qui preferent attribuer la valeur de verite indefinie a ce genre de phrases qu a se positionner personnellement sur : acceptent ils que ( faux=>indefinie ) = vrai?

    5) et pour info je rappelle que "faux" signifie "TOUT EST VRAI" (donc en particulier "indefini")
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • capesard
    capesard
    je suis désolé, ccnc, mais je suis instinctivement pas d'accord. explique moi les rapports qui existent entre les programmes de l'informatique (formelle) et les compilateurs ?
  • samok
    samok
    l'abnégation d'une abnégation c'est quoi ?
    Une intrication quantique ?

    S
  • christophe c
    christophe c
    @capesard: peux tu preciser quel point precis de ce que jai dit est concerne par ta demande (une citation?)

    sinon puisque tu evoques l informatique, l evaluation de A=>B peut se faire comme suit: evaluer A, puis si ca aboutit a FAUX retourner VRAI (sans meme chercher a evaluer B) sinon evaluer B et renvoyer le result obtenu tel quel

    C est meme la definition de implique dans un lambdacalcul-reduction gauche: ( => X Y ) := ( X Y K) avec K le combinateur qui agit comme suit: K x y := x

    Par ailleurs un bon compilateur se doit de ne pas «bloquer»(ie boucler sur un indefini) au cas ou a l execution il faudrait evaluer une expression ou la sous expression qui boucle se devrait d etre ecrasee par une regle.de.priorite sinon on nen finirait pas tous les pc de la planete serait HS.

    Exemple: if 2+1=3 then print bonjour else calculer (a:=a+1)

    j ignore a quoi je reponds et si je te reponds a ta "vraie" demande
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • capesard
    capesard
    @ccnc:
    - peux tu préciser en quoi un abus de langage n'est pas un abus de Logique ?
    - le souci, c'est qu'en classant les bons parmi les moins bons compilateurs, tu les compiles
    même très approximativement

    (on doit admettre que notre conversation termine)

    @samok: il faudrait pouvoir être autorisé à appliquer la méca. quantique à l'arithmétique, ce qui n'est clairement pas autorisé sur ce phorüm.

    ce que l'on constate:
    i) il y a des trous dans l'univers. ces trous sont ils des trous au sens commun du terme ?
    L'Univers est le contraire d'une baudruche: ce sont les trous qui le font exploser et l'expansion qui le contient (mdr). Ouvrons le phorüm les-mathématiques.net aux physiciens, comme ça on appliquera la méca quant. aux difficultés de factorisation.
    ii) Gödel a démontré le théorème d'incomplétude
    iii) les logiciens s'autorisent des abus de langage
    iv) les matheux s'autorisent la violence morale.
    Après on s'étonne du marasme à l'Education.
  • christophe c
    christophe c
    il y a un vague slogan psychanalytique qui dit qu on parle tjs de soi meme sans s en rendre compte: selon lui les trous te feraient exploser :)-D

    Mais quels trous :S?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • qadassi
    qadassi
    Je plussoie CC pour ce qui est de l'informatique, où toute opération a un coût, et par principe d'économie, les compilateurs procèdent exactement comme CC l'affirme,

    Vrai ou Q = Vrai, pareille pour Faux et Q = Faux sans chercher à évaluer Q, pareil pour Faux=> Q

    Je l'utilise tous les jours avec par exemple:
    if (Date != null && Date > #01/01/2010") then ..... else ... endif

    A la compilation comme à l'exécution, pas de bug lorsque la 'Date' est null car l'instruction après le && n'est pas évaluée et on passe directement au 'else'.

    Sinon, je demande à CC: j'ai affirmé que l'indéfini dans l'implication de Clairon ne l'était pas si on présuppose que dans le cadre universitaire où règne ZFC, il est remplacé par faux, et j'aimerai savoir si je me trompe ou pas?
    c-à-d: pour moi, 'i<1' = Faux
    Et j'ai l'impression que cette question est au centre du débat.
  • capesard
    capesard
    @qadassi: christophe écrit "faux signifie 'tout est vrai' ", ce qui revient à attribuer une valeur de vérité à indéfini. je pense que l'on s'achemine vers un paradoxe.Evidemment, on n'est pas en train de parler de vrais compilateurs bien concrêts comme un compilateur C++ ou autre. le terme compilateur est plutôt à prendre au sens de "logique de deuxième ordre".
    je crois que physiquement, le 1er programme écrit l'a été par la Nature, c'est le code génétique. Il comporte du "trash code" ou du "no code", des instructions non exécutées.
    C'est une liberté que se donne la nature.
    A+
  • qadassi
    qadassi
    Je pense comme lui puisque pour moi aussi 'Vrai = rien n'est faux'. Le paradoxe est peut-être la limite de ZFC qui ne nous intéresse pas dans le cadre post-bac/L/M.

    Et j'aimerai savoir sur quoi est basé son jugement, que j'intuite mais dont je n'ai pas la source.
  • christophe c
    christophe c
    @qadassi:

    1) je ne suis pas sur que la question soit au centre du debat dans la mesure ou ce debat N A PAS BESOIN D ETRE TRANCHE POUR REPONDRE A CLAIRON SUR SON EXEMPLE PRECIS

    2) je ne sais pas repondre a toutes les questions de la famille ou tu as choisi ton exemple avec i. Pour ton exemple simple il est vrai que le couple (i,1) n appartient pas a l ensemble des couples (x,y) de IR^2 tel que y>x (l inversion c est pour eviter les balises html) donc d ac avec toi que 1>i a la valeur faux. Par contre ce n est toujours aussi naturel de trancher, par exemple quelle est la valeur de verite de 1/0=2/0? J aurais tendqnce a choir "indefini" (comme pour tout assemblage de symboles syntaxiquement correct mais ne designant pas un objet)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    @qadassi: le fait que faux=tout est un theoreme et non une convention mais je detaillerai ca d un ordi pas de mon tel (dans mes posts j ai deja du le faire donc une recherche :D )
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • qadassi
    qadassi
    Je pensais au i complexe.
    Donc j'ai tort, lorsque j'affirme que la réponse à une relation d'ordre 'i<1' ou d'équivalence '1/0=2/0' renvoie une valeur de vérité faux lorsque le couple n'est pas dans son ensemble de définition.

    Je pensais qu'une non assertion mathématique a toujours la valeur logique 'faux' et non de statu-quo qui n'existe pas en math.
  • hal0
    hal0
    "Indéfini" est la bonne réponse dans les deux cas. On peut décider ce qu'on veut (vrai ou faux) sans contredire les conventions usuelles.
  • christophe c
    christophe c
    Rappelons qu il s agit d un fil speculatif. Officiellement qunad un assemblage de symboles est mal construit il ne veut rien dire et c est tout.

    Je tente un coup de latex par telephone:

    la phrase "f(a)=b" est un abus de langage ou encore une abreviation poetique de "(a,b) $\in$ f" donc peut s'evaluer d une maniere preque officielle et correctement

    la phrase "1>i" est un abus de langage ou encore une abreviation (dans ZF) de (1,i) $\in > $ (qui est une partie precisement definie de IR^2) et peut donc aussi s 'evaluer presque officiellement aussi

    il faut cependant faire attention aux constructions de termes.imbriquees n utilisant pas de symbole fonctionnel atomique bien assume ou melangeant relation ou symboles fonctionnels appliques a des.arguments non dans leur ensemble de.definition: exemple de quel enonce correct l abus de langage suivant est il l abreviation "$1/\sqrt{-7} > 3/0$ ?

    L ajout d un flag "indefini" comme valeur de verite est respectable mais doit bien etre assume comme un acte conventionnel qui prend PLACE APRES avoir reconnu qu on "joue a speculer" et qu on est sorti du cadre habituel.

    Je ne veux pas laisser croire aux.visiteurs beotiens qu il existe "officiellement" et academiquement une valeur de verite autre que vrai;faux en "logique traditionnelle des premieres annees d etudes" qui serait la valeur "indefinie et dont on ne parlerait pas souvent aux.etudiants. ce serait de la.desinformation
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • capesard
    capesard
    merci pour ces précisions. Concernant l'ordre sur C, il s'agit de l'ordre lexicographique ?
  • christophe c
    christophe c
    Il n a jamais ete question d ordre.sur C precedemment (meme si on peut en mettre plein mais c est une autre affaire)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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