suites adjacentes

chomsky
chomsky
dans Analyse
Bonjour $$
\begin{cases}
u_{n+1} = &\frac{1}{2}(u_n+v_n) \\
v_{n+1} = & \frac{1}{4}(u_n+3v_n) \\
u_0 < v_0 &
\end{cases}
$$ Les deux suites sont adjacentes, mais l'équation des point fixes ne donne rien.
En faisant des tests à la calculatrices, les deux suites semblent converger vers une limite commune : $$\frac{1}{3}u_0+\frac{2}{3}v_0$$ Quelle est la théorie de ces récurrence linéaires ? je ne comprends pas comment on détermine leur limite.
Merci.

Réponses

  • chomsky
    chomsky
    J'ai un peu avancé en diagonalisant la matrice $\begin{pmatrix}
    \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[3pt]
    \frac{1}{4} & \frac{3}{4}
    \end{pmatrix} $

    [Clique sur "Code LaTeX" ;) AD]
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour

    Tu peux décroiser tes suites dont l'équation récurrente est à trois termes :
    $4u_{n+2} - 5u_{n+1} + u_n = 0$
    $4v_{n+2} - 5v_{n+1} + v_n = 0$
    l'équation caractéristique est commune soit $4r² - 5r + 1 = 0$ dont les racines sont 1 et $\frac{1}{4}$
    donc $u_n = A + B\dfrac{1}{4^n}$ et $v_n$ est du même format.
    Les constantes $A$ et $B$ sont réelles et déterminées avec $u_0$ et $v_0$ soit $A = \frac{1}{3}(u_0 + 2v_0)$
    La limite est commune il s'agit de $A$ et c'est celle que tu as conjecturée.

    Cordialement
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