Bornes de sommes avec des cosinus

Bonjour,

Les sommes ${S_{1}(n)} = {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}} \cos(k)$ et ${S_{2}(n)} = {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}} (-1)^{k}\cos(k)$ sont connues et on majore facilement leurs valeurs absolues.
Je me suis intéressé à leurs bornes et j'ai obtenu :
\begin{align*}
m_{1}&=-{ \frac {\sin({ \frac {1}{4}} \pi + { \frac {1}{4}} )\cos({ \frac {1}{4}} \pi - { \frac {1}{4}} )}{\sin({ \frac {1}{2}} )}} , & M_{1}&={ \frac {\cos({ \frac {1}{4}} \pi + { \frac {1}{4}} )\sin({ \frac {1}{4}} \pi - { \frac {1}{4}
} )}{\sin({ \frac {1}{2}} )}} \\
{m_{2}}&= - { \frac {\cos^{2}({\frac {1}{4}} )}{\cos({ \frac {1}{2}} )}} ,&
{M_{2}}&= { \frac {\sin^{2}({\frac {1}{4}} )}{\cos({ \frac {1}{2}} )}}
\end{align*}
On peut remarquer que, $m_{1}+M_{1} = m_{2}+M_{2}=-1$ et que les bornes changent de signes en sommant à partir de $k=0$

Ces résultats, que je ne connaissais pas, m'ont surpris par leur simplicité.
Je les ai démontrés par une méthode un peu lourde en utilisant :
$\bullet$ les variations de $S_1$ et $S_2$ (avec une variable réelle).
$\bullet$ l'existence d'un entier aussi proche que l'on veut d'un réel dont l'image est un extrémum de ces fonctions (avec la densité de $\Q$ dans $\R$)
par exemple pour $M_1$ :
$\forall\epsilon>0 ,\ \exists p\in \N,\ \exists n\in \N $ tels que $ \big| { n- (\frac{ \pi -1}{2}+ 2 p \pi)} \big| <\varepsilon$
$\bullet$ et bien sûr la continuité de $S_1$ et $S_2$.
Connaissez-vous une méthode plus simple pour obtenir ces bornes ?

Je me suis aussi intéressé à ${S(n)} = {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}} (-1)^{k} \left| \cos(k) \right| $ ; il semble bien que la somme soit bornée, mais là je sèche.
Avez-vous une idée ou un lien à me suggérer ?
Par avance, merci.