Un calcul de variance

Bonjour,

Je viens de lire dans un article que, si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, alors $\arcsin(\sqrt{X})$ avait une variance égale à $\frac{820.7}{n}$ (avec des unités en degrés).
Avec des unités en radians, la variance deviendrait alors $1/4n$.

Ça fait un petit moment que j'ai perdu contact avec la théorie des probas et j'ai bien du mal à re-démontrer ce résultat. Comment faudrait-il procéder ? (Même en très gros !)

Merci par avance !

Réponses

  • C'est incompréhensible. Si $Y=\arcsin \sqrt{X}$ alors $X=\sin Y^2$ est rarement un entier de $\{0,\ldots,n\}.$
  • Bonjour.

    On considère donc la variable $Y$ qui prend les valeurs $0, \arcsin(1), \arcsin(2), \ldots,\arcsin(n)$ avec les probabilités $(1-p)^n, np(1-p)^{n-1}, \ldots,p^n$. Ensuite, on utilise les formules de la variance. Je n'ai pas regardé de près.

    Cordialement.
  • $\arcsin 3$??
  • Bonsoir,
    La transformation $\arcsin\left(\sqrt{X/n}\right)$ est classique pour la binomiale. Cependant, de mémoire, les seuls résultats que j'ai vus impliquaient de construire une approximation par une loi normale, je ne suis donc pas sûr que la variance ci-dessus soit exacte et non approchée. Une bonne vieille recherche Google avec "variance stabilizing transform binomial" devrait permettre de trouver des références là-dessus.
    Amicalement,
  • Bonjour à tous les trois,
    Merci de votre aide. (Et désolé si la problématique est confusante, je regrette de ne plus avoir suffisamment de bonnes bases théoriques pour m'exprimer très correctement. Argh, c'était le bon vieux temps où je savais encore compter... :D )

    Kuja > En effet, l'article en question contient un paragraphe sur la « stabilisation de la variance » d'une statistique de test donnée. Cette statistique est justement basée sur des lois binomiales, et l'auteur utilise cette technique pour « lisser » sa variance, mais il ne donne aucune précision. Maintenant, si la méthode est classique comme tu le dis, je devrais pouvoir me débrouiller en fouillant un peu. Je reviendrai poster ici si je trouve la réponse, pour que chacun en profite. ;)

    Cordialement

    P.S. pour Paulo : en effet, il semble que l'auteur parlait de $\arcsin(\sqrt{X/n})$ comme le dit Kuja... son $X$ désignant tour à tour une binomiale ou une Bernoulli. Re-pardon, donc !
  • Salut,

    En tous cas en régime asymptotique, la delta-méthode montre que, pour $p \in ]0,1[$, $\mathrm{arcsin} \, \sqrt{X/n}$ est une estimateur convergent et asymptotiquement normal de $\mathrm{arcsin} \, \sqrt{p}$, avec une variance indépendante de $p$ (égale à $1/4$ sauf erreur de calcul de ma part). D'où la stabilisation de variance.
  • Hello !
    Ah, la delta-méthode ! Merci pour l'idée !
    De plus, tout est détaillé à l'extrême dans ce document (où l'on arrive effectivement à la variance que tu prédis), mais ça ne paraît pas super évident comme démarche, a priori...
    http://www.tina-vision.net/docs/memos/2002-007.pdf

    Merci à tous !
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