domaine de définition d'une fonction complexe

metouka · December 2012

Bonjour à tous,
J'ai un petit souci concernant le domaine de définition d'une fonction complexe.

Je vous donne mon exemple. Il s'agit donc de trouver le domaine de la fonction suivante : \quad $f(z)=\sqrt{\log(z+1)}$ avec $0< Arg(z)<2\pi$
Selon moi, je sais que tout ce que contient une racine carrée doit être positif donc j'en déduis que $\log(z+1)\ge0$.
Par ailleurs le domaine de définition de ma fonction $\log$ est $z+1>0$ alors $z>-1$
Donc j'obtiens un domaine de définition $\mathbb{R}^{+}$

Enfin bref la réponse est $ ]-\infty;-1]\cup[0;\infty[$ donc ce n'est pas la bonne réponse.

Plusieurs questions : il est évident que mon raisonnement n'est pas correct pourquoi ?
j'ai vu que le log complexe est défini sur l'intervalle $]-\infty;0]$ pourquoi ?
et de façon plus générale, comment trouve-t-on le domaine de définition d'une fonction complexe ? (j'ai cherché une demi heure sur le net, je n'ai rien trouvé qui correspondait à ma recherche)

Ça fait beaucoup de questions je sais, mais si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait gentil

Merci par avance et très bonne journée à vous tous.

nicolas.patrois · December 2012

Ta fonction est mal définie, parce que la racine carrée n'est pas univoque quand on est dans un contexte complexe.

gerard0 · December 2012

Bonjour Metouka.

Si j'ai bien compris, il s'agit de trouver le domaine de définition de la fonction $ f:z\mapsto \sqrt{\log(z+1)}$ où z est un complexe qui n'est pas d'image sur l'axe des x, côté positif : $ 0< Arg(z)<2\pi$. Donc les réels positifs ne font pas partie du domaine. Et pourtant tu écris :
Enfin bref la réponse est $ ]-\infty;-1]\cup[0;\infty[$ ce qui ne parle pas de complexes, mais de réels et inclut des réels positifs, donc d'argument interdit !
De plus, les fonctions racine carrée et log ne sont pas définies de façon univoque sur les complexes; donc on ne sait pas de quoi tu parles.

En bilan : Aucune cohérence dans ce que tu nous as écrit.

Peux-tu transformer ça en un énoncé clair, totalement défini et cohérent ? Merci.

Cordialement.

C. de Pluquaire · December 2012

Bonne nuit,

@ metouka: tu n'en sais pas assez sur les "fonctions multivalentes" de variables complexes (log et racine) pour résoudre ton exercice.

Bien cordialement.

metouka · December 2012

Je m'excuse si mon message a manque de coherence et de clarte seulement pour ma defense j'etudie dans une langue autre que le francais et l'anglais il est donc tres difficile pour moi tout d'abord de traduire les termes exacts puis d'avoir les cours en francais ce qui m'aiderait bien. Je vais donc tenter de traduire comme il faut mon enonce
Trouver le domaine de definition de la fonction $\sqrt{log(z+1)}$ lorsque log symbolise la branche principale du logarithme et $z\mapsto\sqrt{z}$ celle qui convient a l'argument $0<arg(z)<2\pi$.
voila j'espere que c'est davantage comprehensible.
concernant la remarque sur le fait qu'il me manque des connaissances sur le sujet, je ne peux qu'acquiescer. Le soucis est que j'ai beau avoir cherche dans mon livre ou dans le cours de mon prof, je n'ai pas trouve les notions necessaires pour resoudre mon exercice. Donc si quelqu'un pouvait m'envoyer un lien internet avec le cours en question en francais que je puisse non seulement apprendre a resoudre cet exercice mais tous les exercices se rapportant a ce sujet parce qu'au final c'est le but, ce serait gentil. Ou me dire simplement le nom de ce chapitre en francais pour que je puisse le saisir dans google ce serait tres bien aussi.
Merci par avance et bonne soiree a vous

C. de Pluquaire · December 2012

Bonne nuit,

Pour le log, taper "logarithme_complexe" (Wikipedia), pour la racine, je n'ai rien trouvé d'intéressant, mais c'est plus simple.
Un vieux bouquin est bien sur la question: celui de Lainé (Cours d'analyse ?). Un grand classique.
Il y a cinquante ans, je connaissais tout ça par cœur, mais ce n'est plus le cas ...

Bien cordialement.

jean lismonde · December 2012

Bonjour

Tu peux expliciter ta fonction $\sqrt{\ln(1+z)}$ en posant $z = x +\imath y$
Tu sais que $\ln(x + \imath y) = \frac{1}{2}\ln(x²+y²) + \imath Arctan(\frac{y}{x})$;
le plus devant $\imath $ devient moins si$x$ et $y$ sont de signes contraires.
D'autre part $\sqrt{x +\imath y} = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\sqrt{\sqrt{x²+y²}+x}} +\imath \sqrt{\sqrt{x²+y²}-x}\Big)$,
le plus devant $\imath $ devient moins lorsque $x$ et $y$ sont de signes contraires.
Tu utilises ces relations pour trouver ta fonction complexe de variables $x$ et $y$ réelles soit :
\begin{align*}
\sqrt{\ln(1+z)} = \sqrt{\ln(1+x +\imath y)} &=
\frac{1}{2}\,\sqrt{\sqrt{\ln²\big((1+x)²+y²\big) + 4Arctan²\frac{y}{x+1}}+\ln\big((x+1)²+y²\big)}\ +\\
& +\ \frac \imath 2\, \sqrt{\sqrt{\ln²\big((1+x)²+y²\big) + 4Arctan²\frac{y}{x+1}}- \ln\big((x+1)²+y²\big) }]
\end{align*}
là aussi le signe $+$ devant $\imath$ devient $-$ lorsque $x$ et $y$ sont de signes contraires.
Tu peux vérifier que pour $z = 0$ ton expression est nulle et tu vois immédiatement que pour $x$ et $y$ l'intervalle de définition est $\R$

Cordialement

breukin · December 2012

Puisque le log est la branche principale, il ne faut pas que $ z+1 $ soit dans $ ] -\infty, 0 ] $.
Donc il faut exclure $ ] -\infty, -1 ] $.
Ensuite, il faut que le logarithme ne soit pas réel positif, vu la branche qu'on prend pour la racine.
Donc il ne faut pas que $ z+1 $ soit dans $ \left[ 1, \infty \left[ $.
Donc il faut exclure $ \left[ 0, \infty \left[ $.

domaine de définition d'une fonction complexe

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